Seja
um número inteiro positivo tal que
e
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro positivo
que não é divisível por 5, nem
, nem
são divisíveis por 5, então necessariamente
O conteúdo usado será aritmética modular, em particular análise de classes residuais módulo 5.
Passo 2
Como estamos trabalhando módulo 5, os possíveis resíduos de
são
As hipóteses do enunciado excluem as classes:
– elimina
,
– elimina
,
– elimina
.
Sobram apenas as classes
–
–
–
Sobram apenas as classes
Passo 3
Se
então
e se
então
Em ambos os casos temos
logo
.
Resposta
Portanto,
, como se pedia.