Seja n um número inteiro positivo tal que 5 \nmid n, 5 \nmid n-1 e 5 \nmid n+1. Prove que 5 \mid n 2+1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro positivo n que não é divisível por 5, nem n-1, nem n+1 são divisíveis por 5, então necessariamente
5 \mid n^{2} + 1.
O conteúdo usado será aritmética modular, em particular análise de classes residuais módulo 5.

Passo 2

Como estamos trabalhando módulo 5, os possíveis resíduos de n são
0,1,2,3,4.
As hipóteses do enunciado excluem as classes:
5\nmid n elimina n\equiv 0\pmod{5},
5\nmid n-1 elimina n\equiv 1\pmod{5},
5\nmid n+1 elimina n\equiv -1\equiv 4\pmod{5}.
Sobram apenas as classes
n\equiv 2\pmod{5} \quad\text{ou}\quad n\equiv 3\pmod{5}.

Passo 3

Se n\equiv 2\pmod{5} então
n^{2}\equiv 2^{2}\equiv 4\pmod{5},
e se n\equiv 3\pmod{5} então
n^{2}\equiv 3^{2}\equiv 9\equiv 4\pmod{5}.
Em ambos os casos temos
n^{2}\equiv 4\pmod{5} \quad\Longrightarrow\quad n^{2}+1\equiv 4+1\equiv 0\pmod{5},
logo 5\mid n^{2}+1.

Resposta

Portanto, 5\mid n^{2}+1, como se pedia.

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