Determine a matriz inversa das seguintes matrizes, utilizando a matriz adjunta
(b)
\mathrm{B}=\left(\begin{array}{rrr}12 & 10 & 0 \\\\ 3 & 14 & 11 \\\\ 2 & -1 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz
B=\begin{pmatrix} 12 & 10 & 0\\\\ 3 & 14 & 11\\\\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}
usando o método da matriz adjunta. Vamos precisar de (1) calcular \det(B), (2) formar a matriz de cofatores de B, (3) transpor essa matriz para obter \operatorname{adj}(B) e (4) usar
B^{-1} = \frac{1}{\det(B)}\,\operatorname{adj}(B).

Passo 2

Para achar \det(B) expandimos pela primeira linha. Chamando
B=\bigl[b_{ij}\bigr],
temos
\det(B) =b_{11}\det\begin{pmatrix}14&11\\\ -1&0\end{pmatrix} - b_{12}\det\begin{pmatrix}3&11\\\ 2&0\end{pmatrix} + b_{13}\det\begin{pmatrix}3&14\\\ 2&-1\end{pmatrix}.
Substituindo b_{11}=12, b_{12}=10, b_{13}=0:
\det(B) =12\,(14\cdot0 -11\cdot(-1)) -10\,(3\cdot0 -11\cdot2) +0\cdot(\dots).
Isso dá
\det(B)=12\cdot11 -10\cdot(-22)=132+220=352.

Passo 3

Agora formamos a matriz de cofatores \bigl(C_{ij}\bigr). Cada cofactor é
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
onde M_{ij} é a submatriz obtida retirando linha i e coluna j. Calculando, obtemos
\begin{aligned} C_{11}&= +\det\begin{pmatrix}14&11\\\ -1&0\end{pmatrix}=11,\\\ C_{12}&= -\det\begin{pmatrix}3&11\\\ 2&0\end{pmatrix}=22,\\\ C_{13}&= +\det\begin{pmatrix}3&14\\\ 2&-1\end{pmatrix}=-31,\\\ C_{21}&= -\det\begin{pmatrix}10&0\\\ -1&0\end{pmatrix}=0,\\\ C_{22}&= +\det\begin{pmatrix}12&0\\\ 2&0\end{pmatrix}=0,\\\ C_{23}&= -\det\begin{pmatrix}12&10\\\ 2&-1\end{pmatrix}=32,\\\ C_{31}&= +\det\begin{pmatrix}10&0\\\ 14&11\end{pmatrix}=110,\\\ C_{32}&= -\det\begin{pmatrix}12&0\\\ 3&11\end{pmatrix}=-132,\\\ C_{33}&= +\det\begin{pmatrix}12&10\\\ 3&14\end{pmatrix}=138. \end{aligned}
Logo a matriz de cofatores é
\begin{pmatrix} 11 & 22 & -31\\\\ 0 & 0 & 32\\\\ 110 & -132 & 138 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de B é a transposta da matriz de cofatores:
\operatorname{adj}(B) =\begin{pmatrix} 11 & 0 & 110\\\\ 22 & 0 & -132\\\\ -31 & 32 & 138 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente,
B^{-1} =\frac{1}{\det(B)}\,\operatorname{adj}(B) =\frac{1}{352} \begin{pmatrix} 11 & 0 & 110\\\\ 22 & 0 & -132\\\\ -31 & 32 & 138 \end{pmatrix}.
Podemos também simplificar cada entrada dividindo por 352.

Resposta

B^{-1} =\frac{1}{352} \begin{pmatrix} 11 & 0 & 110\\\\ 22 & 0 & -132\\\\ -31 & 32 & 138 \end{pmatrix}.

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