Determine a matriz inversa das seguintes matrizes, utilizando a matriz adjunta
(c)
\mathrm{C}=\left(\begin{array}{rrr}2 & 10 & 1 \\\\ 6 & 3 & 3 \\\\ -6 & 2 & 9\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a inversa de
\mathrm{C}=\begin{pmatrix} 2 & 10 & 1\\\\ 6 & 3 & 3\\\\ -6 & 2 & 9 \end{pmatrix}
usando a matriz adjunta. A teoria diz que, se \det\text{(C)}\neq0, então
C^{-1}=\frac{1}{\det\text{(C)}}\,\mathrm{adj}\text{(C)}.
Vamos calcular \det\text{(C)}, em seguida a matriz de cofatores e, por fim, montar C^{-1}.

Passo 2

Calcular \det\text{(C)} pelo método de Sarrus:
\det\text{(C)}= 2\cdot3\cdot9 +10\cdot3\cdot(-6) +1\cdot6\cdot2 -\bigl(1\cdot3\cdot(-6)+2\cdot3\cdot2+9\cdot6\cdot10\bigr).
Agora os termos:
2\cdot3\cdot9=54,\quad 10\cdot3\cdot(-6)=-180,\quad1\cdot6\cdot2=12,
soma “para frente” é 54-180+12=-114.
1\cdot3\cdot(-6)=-18,\quad2\cdot3\cdot2=12,\quad9\cdot6\cdot10=540,
soma “para trás” é -18+12+540=534.
Portanto
\det\text{(C)}=-114-534=-648\neq0.

Passo 3

Vamos montar a matriz de cofatores A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor de ordem 2 obtido ao riscar a linha i e a coluna j. O resultado é:
\bigl[A_{ij}\bigr]= \begin{pmatrix} 21 & -72 & 30\\\\ -88 & 24 & -64\\\\ 27 & 0 & -54 \end{pmatrix}.
A adjunta \mathrm{adj}\text{(C)} é a transposta dessa matriz:
\mathrm{adj}\text{(C)}= \begin{pmatrix} 21 & -88 & 27\\\\ -72 & 24 & 0\\\\ 30 & -64 & -54 \end{pmatrix}.

Passo 4

Usando
C^{-1}=\frac{1}{\det\text{(C)}}\,\mathrm{adj}\text{(C)} =\frac{1}{-648} \begin{pmatrix} 21 & -88 & 27\\\\ -72 & 24 & 0\\\\ 30 & -64 & -54 \end{pmatrix},
basta simplificar cada entrada. O resultado final é
C^{-1}= \begin{pmatrix} -\tfrac{7}{216} & \tfrac{11}{81} & -\tfrac{1}{24}\\[6pt] \tfrac{1}{9} & -\tfrac{1}{27} & 0\\[6pt] -\tfrac{5}{108}& \tfrac{8}{81} & \tfrac{1}{12} \end{pmatrix}.]

Resposta

C^{-1}= \begin{pmatrix} -\tfrac{7}{216} & \tfrac{11}{81} & -\tfrac{1}{24}\\\ \tfrac{1}{9} & -\tfrac{1}{27} & 0\\\\ -\tfrac{5}{108}& \tfrac{8}{81} & \tfrac{1}{12} \end{pmatrix}.

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