Resolva os seguintes sistemas utilizando a inversa da matriz dos coeficientes.
\left\{\begin{array}{rlr}2 x_{1}-3 x_{2}+5 x_{3} & = & 7 \\\\ 9 x_{1}-x_{2}+x_{3} & = & -1 \\\ x_{1}+5 x_{2}+4 x_{3} & = & 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 2x_{1}-3x_{2}+5x_{3}=7,\\\\ 9x_{1}-x_{2}+x_{3}=-1,\\\ x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=0 \end{cases}
usando a inversa da matriz dos coeficientes. O conteúdo é álgebra linear, mais precisamente cálculo de determinante, matriz adjunta (cofatores) e inversão de matrizes 3\times3.

Passo 2

Primeiro montamos
A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5\\\\ 9 & -1 & 1\\\\ 1 & 5 & 4 \end{pmatrix},\qquad b = \begin{pmatrix}7\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
O determinante de A é
\det(A) =2\bigl((-1)\cdot4 - 1\cdot5\bigr) -(-3)\bigl(9\cdot4 - 1\cdot1\bigr) +5\bigl(9\cdot5 -(-1)\cdot1\bigr) =-18+105+230=317.

Passo 3

Calculamos a matriz de cofatores C, onde cada elemento é
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
sendo M_{ij} o menor correspondente. Os cálculos dão
C = \begin{pmatrix} -9 & -35 & 46\\\\ 37 & 3 & -13\\\\ 2 & 43 & 25 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de A é \adj(A)=C^{T}, ou seja
\adj(A) =\begin{pmatrix} -9 & 37 & 2\\\\ -35 & 3 & 43\\\\ 46 & -13 & 25 \end{pmatrix},
e portanto
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\adj(A) =\frac{1}{317} \begin{pmatrix} -9 & 37 & 2\\\\ -35 & 3 & 43\\\\ 46 & -13 & 25 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente, a solução é
x = A^{-1}b =\frac{1}{317} \begin{pmatrix} -9 & 37 & 2\\\\ -35 & 3 & 43\\\\ 46 & -13 & 25 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}7\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} =\frac{1}{317} \begin{pmatrix} -9\cdot7 + 37\cdot(-1) + 2\cdot0\\\\ -35\cdot7 + 3\cdot(-1) + 43\cdot0\\\\ 46\cdot7 + (-13)\cdot(-1) + 25\cdot0 \end{pmatrix} =\frac{1}{317} \begin{pmatrix} -100\\\\ -248\\\\ 335 \end{pmatrix}.

Resposta

x_{1} = -\dfrac{100}{317},\quad x_{2} = -\dfrac{248}{317},\quad x_{3} = \dfrac{335}{317}.

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