Para decidir inversibilidade de uma matriz 2\times2 precisamos calcular o determinante. Para uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
o determinante é dado por
\det(M)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz nas posições correspondentes: a é o elemento da linha 1 coluna 1, b da linha 1 coluna 2, c da linha 2 coluna 1 e d da linha 2 coluna 2. Aplicando isso à matriz A temos
\det(A)=1\cdot 4 - 2\cdot 3.
Calcule passo a passo:
1\cdot 4 = 4,\qquad 2\cdot 3 = 6,
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\det(A)=4-6=-2.]
Passo 3
Regra importante: uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Como calculamos que
\det(A)=-2\neq 0,
concluímos que A é inversível. Isso também garante que A^{-1} existe e é único.
Passo 4
Agora vamos calcular A^{-1}. Para uma matriz 2\times2
Explicando a fórmula: trocamos a com d, mudamos o sinal de b e de c, e multiplicamos toda essa matriz pela constante 1/\det(M). Essa matriz dentro do parêntese é chamada de adjunta (mais precisamente a transposta da matriz de cofatores para 2\times2).]
Passo 5
Aplicando a fórmula à nossa matriz A (onde a=1, b=2, c=3, d=4) obtemos primeiro a matriz interna: