Determine se a matriz
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right]
é inversível. Caso seja, calcule A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  1. Determinar se A é inversível.
  2. Caso seja inversível, calcular A^{-1}.]

Passo 2

Para decidir inversibilidade de uma matriz 2\times2 precisamos calcular o determinante. Para uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
o determinante é dado por
\det(M)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz nas posições correspondentes: a é o elemento da linha 1 coluna 1, b da linha 1 coluna 2, c da linha 2 coluna 1 e d da linha 2 coluna 2. Aplicando isso à matriz A temos
\det(A)=1\cdot 4 - 2\cdot 3.
Calcule passo a passo:
1\cdot 4 = 4,\qquad 2\cdot 3 = 6,
logo
\det(A)=4-6=-2.]

Passo 3

Regra importante: uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Como calculamos que
\det(A)=-2\neq 0,
concluímos que A é inversível. Isso também garante que A^{-1} existe e é único.

Passo 4

Agora vamos calcular A^{-1}. Para uma matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
a fórmula direta da inversa é
M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Explicando a fórmula: trocamos a com d, mudamos o sinal de b e de c, e multiplicamos toda essa matriz pela constante 1/\det(M). Essa matriz dentro do parêntese é chamada de adjunta (mais precisamente a transposta da matriz de cofatores para 2\times2).]

Passo 5

Aplicando a fórmula à nossa matriz A (onde a=1, b=2, c=3, d=4) obtemos primeiro a matriz interna:
\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & -2 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicamos essa matriz por 1/\det(A). Como \det(A)=-2, temos 1/\det(A)=-\tfrac{1}{2}. Então
A^{-1} = -\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}4 & -2 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação entrada a entrada:
-\tfrac{1}{2}\cdot 4 = -2,\qquad -\tfrac{1}{2}\cdot (-2)=1,
-\tfrac{1}{2}\cdot (-3)=\tfrac{3}{2},\qquad -\tfrac{1}{2}\cdot 1 = -\tfrac{1}{2}.
Portanto
A^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

É bom verificar multiplicando A por A^{-1} para confirmar que obtemos a matriz identidade. Calculamos A\cdot A^{-1}:
\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-2)+2\cdot\tfrac{3}{2} & 1\cdot 1 + 2\cdot(-\tfrac{1}{2}) \\[6pt] 3\cdot(-2)+4\cdot\tfrac{3}{2} & 3\cdot 1 + 4\cdot(-\tfrac{1}{2}) \end{pmatrix}.
Calcule cada entrada:
1\cdot(-2)+2\cdot\tfrac{3}{2} = -2 + 3 = 1,
1\cdot 1 + 2\cdot(-\tfrac{1}{2}) = 1 -1 = 0,
3\cdot(-2)+4\cdot\tfrac{3}{2} = -6 +6 = 0,
3\cdot 1 + 4\cdot(-\tfrac{1}{2}) = 3 -2 = 1.
Portanto
A\cdot A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
o que confirma que a inversa está correta.]

Resposta

Sim, A é inversível.
A^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}]

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