Utilize o método de operações elementares para decidir se as matrizes abaixo são inversíveis:
(a) \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: decidir se a matriz abaixo é inversível, usando o método de operações elementares.
A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas: os três elementos de cada linha/coluna estão explícitos na matriz acima; não há mais informação adicional.]

Passo 2

O que significa “inversível” na prática (explicação didática e curta antes de começar a operar).
  • Uma matriz quadrada A de ordem n é inversível se existir outra matriz B tal que AB=BA=I_n, onde I_n é a matriz identidade de ordem n.
  • Critérios práticos equivalentes que usamos com operações elementares:
    1. A é inversível se, e somente se, o posto (rank) de A for n (todas as linhas/colunas são linearmente independentes).
    2. Quando aplicamos eliminação por operações elementares (linha) para levar A à forma escalonada reduzida, se aparecer uma linha totalmente nula então o posto é menor que n e A não é inversível.
    3. Outra forma: tentar transformar A em I_n usando operações elementares na forma aumentada [A\mid I_n]. Se isso for impossível porque aparece uma linha nula à esquerda quando ainda há uma linha não nula à direita, então A não é inversível.
Explico rapidamente as operações elementares de linha (são as que podemos usar):
  • troca de duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  • adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    Essas operações não mudam o espaço das combinações lineares das linhas de A exceto por transformações invertíveis, portanto preservam (ou mostram) o posto.

Passo 3

Escrevo A novamente e observo se já está em forma escalonada:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
  • A primeira linha tem pivô 1 na coluna 1.
  • A segunda linha tem pivô 1 na coluna 2.
  • A terceira linha é (0\;0\;0) — linha totalmente nula.
Isso já é uma forma escalonada (e até triangular superior). Não precisamos aplicar mais operações para ver o posto.]

Passo 4

Determinar o posto (número de pivôs):
  • Há pivô na linha 1 (coluna 1).
  • Há pivô na linha 2 (coluna 2).
  • Não há pivô na linha 3 (linha toda nula).
    Portanto o posto de A é 2.
Explicando de forma bem prática: linhas \begin{pmatrix}1&0&2\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0&1&-1\end{pmatrix} são linearmente independentes (uma tem componente não nula na coluna 1 onde a outra tem zero, por exemplo), e a terceira linha é a combinação trivial zero, então só conseguimos duas linhas independentes.

Passo 5

Conectar posto com inversibilidade:
  • A matriz é de ordem 3. Para ser inversível ela precisaria ter posto 3.
  • Encontramos posto 2, ou seja, posto <3.
  • Logo A não é inversível.
Posso dar uma observação alternativa rápida (útil na prova): como A é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal, que é 1\cdot 1\cdot 0=0. Determinante zero confirma que a matriz é singular (não inversível). Mas a parte do enunciado pedia usar operações elementares, então a conclusão pelo posto é a abordagem solicitada.

Passo 6

Interpretação operacional (como você aplicaria na prova passo a passo):
  • Escreva A.
  • Tente reduzir por operações de linha para obter a identidade I_3.
  • Ao realizar eliminação, você verá que a terceira linha permanece (0\;0\;0); não existe operação elementar que transforme uma linha nula em uma linha com pivô. Portanto não é possível obter I_3 e não existe a matriz inversa.
  • Conclusão prática e direta: posto 2<3 ⇒ matriz não inversível.

Resposta

A matriz não é inversível.

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