Resolva o sistema em cada item:
(a) \left\{\begin{array}{r}2 x+3 y-z=0 \\\ x-4 y+z=0 \\\\ 3 x+y-2 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo
\begin{cases} 2x+3y-z=0\\[4pt] x-4y+z=0\\[4pt] 3x+y-2z=0 \end{cases}
Ou seja, encontrar todos os tripletos (x,y,z) que satisfazem as três equações simultaneamente. As informações dadas são exatamente as três equações acima.]

Passo 2

É útil escrever o sistema na forma matricial \,A\mathbf{v}=\mathbf{0}\,, onde \mathbf{v} é o vetor incógnita e A é a matriz dos coeficientes. Aqui
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix}2 & 3 & -1\\[4pt]1 & -4 & 1\\[4pt]3 & 1 & -2\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{0}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Explicando: cada linha de A contém os coeficientes de uma equação; multiplicar A por \mathbf{v} dá o lado esquerdo do sistema, e igualamos ao vetor nulo.]

Passo 3

Conceito importante: para um sistema homogêneo \,A\mathbf{v}=\mathbf{0}\, com A quadrada, existem duas possibilidades:
  • Se A for invertível (ou seja, \det(A)\neq 0), então a única solução é a solução trivial \mathbf{v}=\mathbf{0}.
  • Se A não for invertível ( \det(A)=0), então existem infinitas soluções não-triviais (um subespaço de dimensões >=1).
Então, para decidir, vamos calcular \det(A). Vou explicar passo a passo o método usado: expansão por cofactores na primeira linha (você pode usar qualquer linha/coluna, mas eu escolho a primeira).

Passo 4

Cálculo do determinante por expansão pela primeira linha. A fórmula é
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde a_{1j} são os elementos da primeira linha e C_{1j} são os cofactores. Para a nossa matriz:
a_{11}=2,\quad a_{12}=3,\quad a_{13}=-1.
Os cofactores são C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}), com M_{1j} a menor que sobra ao remover a linha 1 e coluna j.
Calcule cada menor:
  • Para j=1: remover linha 1 e coluna 1 dá a matriz \begin{pmatrix}-4 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}. Assim
\det(M_{11}) = (-4)(-2)-1\cdot 1 = 8-1=7,
e C_{11}=(-1)^{2}\cdot 7=7.
  • Para j=2: remover linha 1 e coluna 2 dá a matriz \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix}. Assim
\det(M_{12}) = 1\cdot(-2)-1\cdot 3 = -2-3=-5,
e C_{12}=(-1)^{3}\cdot(-5) = -(-5)=5.
  • Para j=3: remover linha 1 e coluna 3 dá a matriz \begin{pmatrix}1 & -4\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}. Assim
\det(M_{13}) = 1\cdot 1 - (-4)\cdot 3 = 1 -(-12)=1+12=13,
e C_{13}=(-1)^{4}\cdot 13=13.
Agora juntamos:
\det(A)=2\cdot C_{11} + 3\cdot C_{12} + (-1)\cdot C_{13}.
Substituindo os valores:
\det(A)=2\cdot 7 + 3\cdot 5 + (-1)\cdot 13 = 14 + 15 - 13 = 16.]

Passo 5

Interpretando o resultado: \det(A)=16\neq 0. Isso significa que A é invertível. Para um sistema homogêneo \,A\mathbf{v}=\mathbf{0}\, com A invertível, a única solução possível é a solução trivial \mathbf{v}=\mathbf{0}, isto é, (x,y,z)=(0,0,0).
Explicação intuitiva curta: invertibilidade significa que a transformação linear representada por A só envia o vetor nulo para o vetor nulo; se um vetor diferente de zero fosse mapeado para zero, A não teria inversa.

Passo 6

(Faixa de verificação opcional, para ajudá-lo a sentir confiança) Poderíamos confirmar fazendo eliminação de Gauss e vendo que a única solução é a trivial. Aplicando operações de linha que transformam A em uma matriz triangular cheia de pivôs não-nulos, chegaríamos à conclusão de que x=0, y=0, z=0. Esse procedimento é equivalente ao teste do determinante, só que mais trabalhoso manualmente.

Resposta

(x,y,z)=(0,0,0)

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