Determine a matriz \mathrm{X}=3 A^{2}-2 \mathrm{~A}+4 I_{2}, sendo:
A=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 3 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a matriz
X = 3A^2 - 2A + 4I_{2},
onde
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & -1\end{pmatrix}
e I_{2} é a matriz identidade de ordem 2. O conteúdo aqui é aplicar produto de matrizes e aproveitar propriedades de somas e escalares em matrizes.

Passo 2

Vamos primeiro calcular A^2 = A \cdot A. Usando a definição de multiplicação de matrizes:
A^2 = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot3 & 1\cdot2 + 2\cdot(-1)\\\\ 3\cdot1 + (-1)\cdot3 & 3\cdot2 + (-1)\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 & 0 \\\\ 0 & 7\end{pmatrix} = 7I_{2}.

Passo 3

Agora montamos cada termo de X:
3A^2 = 3\cdot(7I_{2}) = 21I_{2}, \quad -2A = -2\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & -4 \\\\ -6 & 2\end{pmatrix}, \quad 4I_{2} = \begin{pmatrix}4 & 0 \\\\ 0 & 4\end{pmatrix}.
Somando-os:
X = 21I_{2} + (-2A) + 4I_{2} = (21I_{2} + 4I_{2}) + (-2A) = 25I_{2} + \begin{pmatrix}-2 & -4 \\\\ -6 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}25 & 0 \\\\ 0 & 25\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2 & -4 \\\\ -6 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}23 & -4 \\\\ -6 & 27\end{pmatrix}.

Resposta

X = \begin{pmatrix}23 & -4 \\\\ -6 & 27\end{pmatrix}.

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