Determine x in R para que a matriz A=(ccc0 & 2 x & 1 x^2 & 0 & -4 x x+1 & x^3 & 0) seja antissimétrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A e precisa descobrir para quais valores de x essa matriz é antissimétrica. Antissimétrica é um conceito de Álgebra Linear onde, basicamente, a matriz é igual ao negativo da sua transposta. Pra isso, vamos precisar entender como comparar os elementos da matriz com os da sua transposta e aplicar essa condição para encontrar x .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz antissimétrica. Uma matriz A é antissimétrica se A^T = -A . Isso significa que o elemento na posição (i,j) é o negativo do elemento na posição (j,i) . Além disso, todos os elementos da diagonal principal devem ser zero, já que aii = -aii só é possível se aii = 0 .

Passo 3

Vamos anotar a matriz A :
A = 0 & 2x & 1 x^2 & 0 & -4x x+1 & x^3 & 0
Agora, vamos encontrar a transposta de A , que é basicamente trocar as linhas pelas colunas:
A^T = 0 & x^2 & x+1 2x & 0 & x^3 1 & -4x & 0

Passo 4

Para A ser antissimétrica, deve valer A^T = -A . Vamos comparar os elementos correspondentes de A^T e -A :
-A = 0 & -2x & -1 - x^2 & 0 & 4x - (x+1) & -x^3 & 0
Agora, igualamos A^T a -A :
0 = 0 x^2 = -2x x+1 = -1 2x = -x^2 0 = 0 x^3 = 4x 1 = - (x+1) -4x = -x^3 0 = 0

Passo 5

Vamos resolver essas equações uma a uma:
  1. x+1 = -1 :
x + 1 = -1 implies x = -2
  1. x^2 = -2x :
x^2 + 2x = 0 implies x(x + 2) = 0 implies x = 0 ou x = -2
  1. x^3 = 4x :
x^3 - 4x = 0 implies x(x^2 - 4) = 0 implies x = 0, x = 2 ou x = -2
  1. -4x = -x^3 :
-4x = -x^3 implies x^3 - 4x = 0 implies x(x^2 - 4) = 0 implies x = 0, x = 2 ou x = -2

Passo 6

Agora, vamos ver quais valores de x satisfazem todas as equações simultaneamente. Das soluções encontradas:
  • x = -2 satisfaz todas as equações.
  • x = 0 não satisfaz a equação x + 1 = -1 (porque 0 + 1 = 1 neq -1 ).
  • x = 2 também não satisfaz a equação x + 1 = -1 (porque 2 + 1 = 3 neq -1 ).

Resposta

O valor de x que torna a matriz A antissimétrica é x = -2 .

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