Encontre uma matriz A in M3 times 3(R) tal que A+A^t=I3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma matriz A de ordem 3 times 3 com números reais, ou seja, A in M3 times 3(R) , que satisfaça a condição A + A^t = I3 . Aqui, A^t é a transposta de A e I3 é a matriz identidade de ordem 3. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar uma matriz com sua transposta e usar as propriedades das matrizes simétricas e antissimétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. Se A = [aij] , então A^t = [aji] . Isso significa que a transposta troca as linhas pelas colunas da matriz. A condição A + A^t = I3 implica que, para cada elemento aij de A , a soma aij + aji deve ser igual ao elemento correspondente da identidade, que é 1 se i = j e 0 caso contrário.

Passo 3

Vamos escrever a matriz A de forma geral:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
A transposta de A será:
A^t = a & d & g b & e & h c & f & i

Passo 4

Agora, somando A e A^t :
A + A^t = a + a & b + d & c + g d + b & e + e & f + h g + c & h + f & i + i = 2a & b + d & c + g b + d & 2e & f + h c + g & f + h & 2i
Essa soma deve ser igual à matriz identidade I3 , ou seja:
2a & b + d & c + g b + d & 2e & f + h c + g & f + h & 2i = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Isso gera o seguinte sistema de equações:
  1. 2a = 1 Rightarrow a = 12
  2. b + d = 0 Rightarrow d = -b
  3. c + g = 0 Rightarrow g = -c
  4. 2e = 1 Rightarrow e = 12
  5. f + h = 0 Rightarrow h = -f
  6. 2i = 1 Rightarrow i = 12

Passo 5

Observamos que algumas variáveis são determinadas diretamente e outras dependem umas das outras. Podemos escolher valores para b , c e f livremente, já que d , g e h são expressos em termos delas. Para simplificar, vamos escolher b = c = f = 0 . Assim, temos:
A = 12 & 0 & 0 0 & 12 & 0 0 & 0 & 12

Resposta

Uma matriz que satisfaz A + A^t = I3 é:
A = 12 & 0 & 0 0 & 12 & 0 0 & 0 & 12

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