Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma matriz de ordem com números reais, ou seja, , que satisfaça a condição . Aqui, é a transposta de e é a matriz identidade de ordem 3. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar uma matriz com sua transposta e usar as propriedades das matrizes simétricas e antissimétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. Se , então . Isso significa que a transposta troca as linhas pelas colunas da matriz. A condição implica que, para cada elemento de , a soma deve ser igual ao elemento correspondente da identidade, que é 1 se e 0 caso contrário.
Passo 3
Vamos escrever a matriz de forma geral:
A transposta de A será:
A^t = a & d & g b & e & h c & f & i
Passo 4
Agora, somando A e A^t :
A + A^t = a + a & b + d & c + g d + b & e + e & f + h g + c & h + f & i + i = 2a & b + d & c + g b + d & 2e & f + h c + g & f + h & 2i
Essa soma deve ser igual à matriz identidade I3 , ou seja:
2a & b + d & c + g b + d & 2e & f + h c + g & f + h & 2i = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Isso gera o seguinte sistema de equações:
2a = 1 Rightarrow a = 12
b + d = 0 Rightarrow d = -b
c + g = 0 Rightarrow g = -c
2e = 1 Rightarrow e = 12
f + h = 0 Rightarrow h = -f
2i = 1 Rightarrow i = 12
Passo 5
Observamos que algumas variáveis são determinadas diretamente e outras dependem umas das outras. Podemos escolher valores para b , c e f livremente, já que d , g e h são expressos em termos delas. Para simplificar, vamos escolher b = c = f = 0 . Assim, temos: