Determine a matriz X tal que A X A^{-1}=B, sendo A=\left[\begin{array}{ll}4 & 7 \\\\ 3 & 5\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ll}-2 & 1 \\\\ -4 & 5\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para achar a matriz X que satisfaz a relação de similaridade
A\,X\,A^{-1}=B,
onde
A = \begin{pmatrix}4 & 7 \\\\ 3 & 5\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\\\ -4 & 5\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é manipulação de matrizes invertíveis: vamos usar que, premultiplicando por A^{-1} e postmultiplicando por A, obtemos
X = A^{-1}\,B\,A.

Passo 2

Calcular A^{-1}. Primeiro o determinante de A:
\det(A) = 4\cdot5 - 7\cdot3 = 20 - 21 = -1.
Para uma 2\times2, a inversa é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 5 & -7 \\\\ -3 & 4 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 5 & -7 \\\\ -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 7 \\\\ 3 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular o produto intermediário A^{-1}B:
A^{-1}B = \begin{pmatrix} -5 & 7 \\\\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\\\ -4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-5)(-2)+7(-4) & (-5)(1)+7(5) \\\\ 3(-2)+(-4)(-4) & 3(1)+(-4)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -18 & 30 \\\\ 10 & -17 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora multiplicar pelo A à direita para obter X:
X = (A^{-1}B)A = \begin{pmatrix} -18 & 30 \\\\ 10 & -17 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 7 \\\\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-18)\cdot4+30\cdot3 & (-18)\cdot7+30\cdot5 \\\\ 10\cdot4+(-17)\cdot3 & 10\cdot7+(-17)\cdot5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 24 \\\\ -11 & -15 \end{pmatrix}.

Resposta

A matriz procurada é
X = \begin{pmatrix}18 & 24 \\\\ -11 & -15\end{pmatrix}.

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