Para as matrizes A=\left[\begin{array}{ll}5 & 7 \\\\ 2 & 3\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}3 & -1 \\\\ -3 & 5\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ -1 & 2\end{array}\right], encontre a matriz (2 \times 2) X, solução da equação A X+2 B=5 C.
OBS. Isole X multiplicando essa equação matricial a esquerda por A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}5 & 7 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}3 & -1 \\\\ -3 & 5\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & 2\end{pmatrix}
e pede a solução X da equação matricial
A\,X + 2\,B = 5\,C.
Para isolar X vamos multiplicar à esquerda por A^{-1}. Precisamos então de (i) calcular A^{-1}, (ii) formar 5C - 2B e (iii) multiplicar A^{-1}(5C-2B).

Passo 2

Para uma matriz 2\times2
A = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
temos
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Aqui a=5, b=7, c=2, d=3, logo
\det(A) = 5\cdot3 - 7\cdot2 = 15 -14 = 1 \quad\Longrightarrow\quad A^{-1} = \begin{pmatrix}3 & -7 \\\\ -2 & 5\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos agora
5C = 5\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 5 \\\\ -5 & 10\end{pmatrix}, \quad 2B = 2\begin{pmatrix}3 & -1 \\\\ -3 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & -2 \\\\ -6 & 10\end{pmatrix}.
Subtraindo obtém-se
5C - 2B = \begin{pmatrix}5-6 & 5-(-2) \\\\ -5-(-6) & 10-10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 7 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Finalmente, isolamos X:
X = A^{-1}(5C - 2B) = \begin{pmatrix}3 & -7 \\\\ -2 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 7 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação de matrizes componente a componente:
X = \begin{pmatrix} 3\cdot(-1)+(-7)\cdot1 & 3\cdot7+(-7)\cdot0 \\[6pt] (-2)\cdot(-1)+5\cdot1 & (-2)\cdot7+5\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-10 & 21 \\\\ 7 & -14\end{pmatrix}.]

Resposta

X = \begin{pmatrix}-10 & 21 \\[4pt] 7 & -14\end{pmatrix}.]

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