Determine quais das matrizes abaixo são inversíveis. Em caso afirmativo, determine a inversa.
\left[\begin{array}{cc}6 & 12 \\\\ -2 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}6 & 12 \\\\ -2 & 4\end{pmatrix}
e pede para verificar se ela é inversível e, em caso afirmativo, encontrar A^{-1}. Para isso vamos calcular o determinante de A e, se for diferente de zero, usar a fórmula da inversa de uma matriz 2\times2:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.

Passo 2

Calcular o determinante de A:
\det(A) = 6\cdot4 - 12\cdot(-2) = 24 - (-24) = 48.
Como \det(A)=48\neq0, concluímos que A é inversível.

Passo 3

Aplicar a fórmula da inversa para matrizes 2\times2:
A^{-1} = \frac{1}{48}\begin{pmatrix}4 & -12 \\\\ 2 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4/48 & -12/48 \\\\ 2/48 & 6/48\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/12 & -1/4 \\\\ 1/24 & 1/8\end{pmatrix}.

Resposta

A é inversível e
A^{-1} = \begin{pmatrix}1/12 & -1/4 \\\\ 1/24 & 1/8\end{pmatrix}.

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