Determine as matrizes jacobianas das seguintes funções:
u(x, y, z)=x+y+3 z^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as matrizes jacobianas da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é u(x,y,z)=x+y+3z^{2}.
  • Não há outros dados numéricos (pontos específicos) — só a expressão simbólica.
O que se pede explicitamente:
  • Calcular a matriz jacobiana de u, isto é, a matriz (ou vetor linha) formada pelas derivadas parciais de u em relação a x, y e z.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a matriz jacobiana, explicado passo a passo e com calma.
  • Se uma função tem entrada em \mathbb{R}^{n} e saída em \mathbb{R}^{m}, a matriz jacobiana é uma matriz m\times n cujos elementos são as derivadas parciais das componentes de saída em relação às variáveis de entrada.
  • No caso de uma função escalar u:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} (ou seja, m=1 e n=3), a matriz jacobiana tem tamanho 1\times 3. Ela é simplesmente o vetor linha formado pelas derivadas parciais de u em relação a x, y e z:
J_{u}(x,y,z)=\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \end{pmatrix}.
  • Intuição simples: cada derivada parcial responde “se eu vario só esta variável, quanto u muda?”, mantendo as outras fixas.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais uma a uma. Vou explicar cada passo como se estivéssemos fazendo na prova.
  1. Derivada parcial em relação a x.
  • Considere y e z fixos. Na expressão u(x,y,z)=x+y+3z^{2}, apenas o termo x depende de x de forma não constante.
  • A derivada de x em relação a x é 1. Os termos y e 3z^{2} são constantes quando derivamos em relação a x, então suas derivadas são 0.
\frac{\partial u}{\partial x}=1.
  1. Derivada parcial em relação a y.
  • Agora varie y e mantenha x e z fixos. Só o termo y depende de y.
  • A derivada de y em relação a y é 1; os outros termos são constantes frente a variação de y.
\frac{\partial u}{\partial y}=1.
  1. Derivada parcial em relação a z.
  • Varie z mantendo x e y fixos. O único termo que depende de z é 3z^{2}.
  • Use a regra de potência: a derivada de z^{2} em relação a z é 2z. Multiplicando pelo coeficiente 3 obtemos 3\cdot 2z=6z.
\frac{\partial u}{\partial z}=6z.

Passo 4

Reunindo os resultados parciais que acabamos de calcular, sabemos quais são as entradas da matriz jacobiana: são \dfrac{\partial u}{\partial x}=1, \dfrac{\partial u}{\partial y}=1 e \dfrac{\partial u}{\partial z}=6z.
(Observação útil para a prova: para funções escalares a matriz jacobiana é o vetor linha (\partial u/\partial x,\partial u/\partial y,\partial u/\partial z); o gradiente \nabla u é o vetor coluna com esses mesmos componentes.)

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (motivação e truques):
  • Sempre que tiver um termo linear em uma variável tipo ax, a derivada parcial em relação a x é a. Termos que não dependem da variável são zero.
  • Para potências, use a regra d(z^{n})/dz = n z^{n-1}. Se há um coeficiente constante c, ele sai multiplicando.
  • Pratique com funções simples para ganhar agilidade; em prova é comum pedirem várias jacobianas seguidas, então faça mentalmente: derive por variável, mantendo as outras fixas.

Resposta

J_{u}(x,y,z)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 6z\end{pmatrix}

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