Determine as matrizes jacobianas das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as matrizes jacobianas da função dada. As informações fornecidas são:
- A função é
. - Não há outros dados numéricos (pontos específicos) — só a expressão simbólica.
O que se pede explicitamente:
- Calcular a matriz jacobiana de
, isto é, a matriz (ou vetor linha) formada pelas derivadas parciais de em relação a , e .
Passo 2
Vamos lembrar o que é a matriz jacobiana, explicado passo a passo e com calma.
- Se uma função tem entrada em
e saída em , a matriz jacobiana é uma matriz cujos elementos são as derivadas parciais das componentes de saída em relação às variáveis de entrada. - No caso de uma função escalar
(ou seja, e ), a matriz jacobiana tem tamanho . Ela é simplesmente o vetor linha formado pelas derivadas parciais de em relação a , e :
- Intuição simples: cada derivada parcial responde “se eu vario só esta variável, quanto
muda?”, mantendo as outras fixas.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais uma a uma. Vou explicar cada passo como se estivéssemos fazendo na prova.
- Derivada parcial em relação a
.
- Considere
e fixos. Na expressão , apenas o termo depende de de forma não constante. - A derivada de
em relação a é . Os termos e são constantes quando derivamos em relação a , então suas derivadas são .
- Derivada parcial em relação a
.
- Agora varie
e mantenha e fixos. Só o termo depende de . - A derivada de
em relação a é ; os outros termos são constantes frente a variação de .
- Derivada parcial em relação a
.
- Varie
mantendo e fixos. O único termo que depende de é . - Use a regra de potência: a derivada de
em relação a é . Multiplicando pelo coeficiente obtemos .
Passo 4
Reunindo os resultados parciais que acabamos de calcular, sabemos quais são as entradas da matriz jacobiana: são
,
e
.
(Observação útil para a prova: para funções escalares a matriz jacobiana é o vetor linha
; o gradiente
é o vetor coluna com esses mesmos componentes.)
Passo 5
Dicas rápidas para a prova (motivação e truques):
- Sempre que tiver um termo linear em uma variável tipo
, a derivada parcial em relação a é . Termos que não dependem da variável são zero. - Para potências, use a regra
. Se há um coeficiente constante , ele sai multiplicando. - Pratique com funções simples para ganhar agilidade; em prova é comum pedirem várias jacobianas seguidas, então faça mentalmente: derive por variável, mantendo as outras fixas.