Um peso de
é atado a uma mola com constante de elasticidade igual a
. Supondo que uma força de amortecimento igual ao dobro da velocidade instantânea atua no sistema, determine a equação de movimento se o peso parte da posição de equilíbrio com velocidade de
para cima.
Passo 1
O enunciado pede a equação do movimento do sistema massa-mola-amortecedor, dado que:
- massa:
; - constante elástica da mola:
; - a força de amortecimento tem intensidade igual ao dobro da velocidade instantânea (ou seja, proporcional à velocidade com coeficiente igual a
); - condições iniciais: parte da posição de equilíbrio com velocidade de
para cima.
As perguntas implícitas são: (1) montar a equação diferencial de movimento; (2) resolver essa EDO com as condições iniciais e dar
.
Passo 2
Primeiro converto unidades para o SI (padrão do movimento):
- A mola tem
. Como , tem-se
Passo 3
Explico o modelo físico e a forma geral da equação:
- Para um sistema massa-mola com amortecimento linear, a soma das forças é nula (segunda lei de Newton):
- força elástica (restauradora) é
(para deslocamento medido a partir do equilíbrio); - força de amortecimento, sendo proporcional à velocidade, é
, com o coeficiente de amortecimento (o sinal negativo indica que a força se opõe ao movimento).
- força elástica (restauradora) é
- Portanto a equação de movimento geral é
Aqui:
-
é o deslocamento em metros (positivo no sentido escolhido, por exemplo para cima); -
é a velocidade ; -
é a aceleração .
Passo 4
Determino o coeficiente de amortecimento
. O enunciado diz que a força de amortecimento é igual ao dobro da velocidade instantânea — isto significa que a força (em newtons) tem valor
, logo o coeficiente
vale
no SI:
Passo 5
Substituo
,
e
na equação e normalizo dividindo por
para obter a forma padrão:
Dividindo por
(que é
):
portanto
Passo 6
Vou resolver a equação linear homogênea com coeficientes constantes usando a equação característica. Assumo uma solução do tipo
. Substituindo na EDO obtemos a característica
Calculo o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Calculo as raízes explicitamente:
Para simplificar
:
, logo
. Assim
Passo 7
Como as raízes são
com
e
, a solução geral para o caso subamortecido é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Fisicamente,
é o fator de decaimento exponencial (a envoltória), e
é a frequência angular das oscilações amortecidas.
Passo 8
Agora uso as condições iniciais. Como o peso parte da posição de equilíbrio:
Substituindo em
:
Logo
Passo 9
Uso a condição da velocidade inicial. A velocidade inicial para cima é
, então
Primeiro cálculo
. Com
fica mais simples, mas mostro o cálculo geral e depois avalio em
.
Derivo
Derivo
onde
. Então
Avalio em
e uso
:
Com
isso reduz a
Como
, obtemos
Passo 10
Substituo
e
na solução geral e escrevo a solução final. Usando
,
Posso também dar uma forma aproximada (valores numéricos):
logo aproximadamente