Um peso de 0,25 \mathrm{~kg} é atado a uma mola com constante de elasticidade igual a 4 \mathrm{~N} / \mathrm{cm}. Supondo que uma força de amortecimento igual ao dobro da velocidade instantânea atua no sistema, determine a equação de movimento se o peso parte da posição de equilíbrio com velocidade de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para cima.

Passo 1

O enunciado pede a equação do movimento do sistema massa-mola-amortecedor, dado que:
  • massa: m=0,25\\ \mathrm{kg};
  • constante elástica da mola: k=4\\ \mathrm{N/cm};
  • a força de amortecimento tem intensidade igual ao dobro da velocidade instantânea (ou seja, proporcional à velocidade com coeficiente igual a 2);
  • condições iniciais: parte da posição de equilíbrio com velocidade de 3\\ \mathrm{m/s} para cima.
As perguntas implícitas são: (1) montar a equação diferencial de movimento; (2) resolver essa EDO com as condições iniciais e dar x(t).

Passo 2

Primeiro converto unidades para o SI (padrão do movimento):
  • A mola tem k=4\\ \mathrm{N/cm}. Como 1\\ \mathrm{N/cm}=100\\ \mathrm{N/m}, tem-se
k = 4\times100 = 400\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

Explico o modelo físico e a forma geral da equação:
  • Para um sistema massa-mola com amortecimento linear, a soma das forças é nula (segunda lei de Newton):
    • força elástica (restauradora) é -k x (para deslocamento x medido a partir do equilíbrio);
    • força de amortecimento, sendo proporcional à velocidade, é -c x', com c o coeficiente de amortecimento (o sinal negativo indica que a força se opõe ao movimento).
  • Portanto a equação de movimento geral é
m x'' + c x' + k x = 0.
Aqui:
  • x(t) é o deslocamento em metros (positivo no sentido escolhido, por exemplo para cima);
  • x'(t) é a velocidade \mathrm{m/s};
  • x''(t) é a aceleração \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Determino o coeficiente de amortecimento c. O enunciado diz que a força de amortecimento é igual ao dobro da velocidade instantânea — isto significa que a força (em newtons) tem valor 2\cdot v, logo o coeficiente c vale 2 no SI:
c = 2\\ \mathrm{N\cdot s/m}.

Passo 5

Substituo m, c e k na equação e normalizo dividindo por m para obter a forma padrão:
0,25\,x'' + 2\,x' + 400\,x = 0.
Dividindo por 0,25 (que é 1/4):
x'' + \frac{2}{0,25}\,x' + \frac{400}{0,25}\,x = 0,
portanto
x'' + 8\,x' + 1600\,x = 0.

Passo 6

Vou resolver a equação linear homogênea com coeficientes constantes usando a equação característica. Assumo uma solução do tipo x(t)=e^{r t}. Substituindo na EDO obtemos a característica
r^{2}+8r+1600=0.
Calculo o discriminante:
\Delta = 8^{2}-4\cdot1\cdot1600 = 64-6400 = -6336.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Calculo as raízes explicitamente:
r = \frac{-8 \pm \sqrt{-6336}}{2} = -4 \pm \frac{\sqrt{6336}}{2}\,i.
Para simplificar \sqrt{6336}: 6336=64\cdot99, logo \sqrt{6336}=8\sqrt{99}. Assim
r = -4 \pm 4\sqrt{99}\,i.

Passo 7

Como as raízes são r=-\alpha \pm i\omega_d com \alpha=4 e \omega_d=4\sqrt{99}, a solução geral para o caso subamortecido é
x(t) = e^{-4 t}\bigl(A\cos(\,4\sqrt{99}\,t\,) + B\sin(\,4\sqrt{99}\,t\,)\bigr),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Fisicamente, e^{-4t} é o fator de decaimento exponencial (a envoltória), e \,4\sqrt{99}\, é a frequência angular das oscilações amortecidas.

Passo 8

Agora uso as condições iniciais. Como o peso parte da posição de equilíbrio:
x(0)=0.
Substituindo em x(t):
x(0)=e^{0}\bigl(A\cos0 + B\sin0\bigr)=A\cdot1 + B\cdot0 = A.
Logo
A=0.

Passo 9

Uso a condição da velocidade inicial. A velocidade inicial para cima é 3\\ \mathrm{m/s}, então
x'(0)=3.
Primeiro cálculo x'(t). Com A=0 fica mais simples, mas mostro o cálculo geral e depois avalio em t=0.
Derivo
x(t)=e^{-4t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr),
onde \omega_d=4\sqrt{99}. Então
x'(t)=e^{-4t}\bigl(-4(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)) + (-A\omega_d\sin(\omega_d t)+B\omega_d\cos(\omega_d t))\bigr).
Avalio em t=0 e uso A=0:
x'(0)= -4(A\cdot1 + B\cdot0) + ( -A\omega_d\cdot0 + B\omega_d\cdot1 ) = -4A + B\omega_d.
Com A=0 isso reduz a
x'(0)=B\omega_d.
Como x'(0)=3, obtemos
B = \frac{3}{\omega_d} = \frac{3}{4\sqrt{99}}.

Passo 10

Substituo A e B na solução geral e escrevo a solução final. Usando \omega_d=4\sqrt{99},
x(t) = e^{-4 t}\left(\frac{3}{4\sqrt{99}}\right)\sin\!\bigl(4\sqrt{99}\,t\bigr).
Posso também dar uma forma aproximada (valores numéricos):
\omega_d \approx 39,799\quad\text{e}\quad \frac{3}{4\sqrt{99}}\approx 0,07538,
logo aproximadamente
x(t)\approx 0,07538\,e^{-4t}\sin(39,799\,t).

Resposta

x(t)=e^{-4 t}\left(\frac{3}{4\sqrt{99}}\right)\sin\!\bigl(4\sqrt{99}\,t\bigr)\approx 0,07538\,e^{-4t}\sin(39,799\,t).

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