Determine as matrizes jacobianas das seguintes funções:
\alpha(t)=\left(2 t, \operatorname{sen} t, 4 t^{3}-3 \tan t\right).

Passo 1

O enunciado pede a matriz jacobiana da função \alpha dada por
\alpha(t)=\bigl(2t,\\ \operatorname{sen} t,\\\ 4t^{3}-3\tan t\bigr).
Informações fornecidas:
  • A variável independente é t\in\mathbb{R}.
  • A função tem três componentes: \alpha_{1}(t)=2t, \alpha_{2}(t)=\operatorname{sen} t e \alpha_{3}(t)=4t^{3}-3\tan t.
    O objetivo é calcular a matriz jacobiana J_{\alpha}(t) (a matriz das derivadas parciais das componentes em relação a t).

Passo 2

O que é a matriz jacobiana aqui e qual formato ela tem?
  • Em geral, para f:\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n} a matriz jacobiana J_{f}(x) é a matriz n\times m cujos elementos são \dfrac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}.
  • No nosso caso m=1 e n=3: é uma função de uma variável para \mathbb{R}^{3}. Portanto a jacobiana é uma matriz 3\times1 (uma coluna) cujas entradas são as derivadas das três componentes em relação a t:
J_{\alpha}(t)=\begin{pmatrix} \alpha_{1}'(t)\\[4pt] \alpha_{2}'(t)\\[4pt] \alpha_{3}'(t) \end{pmatrix}.
Isso coincide com o vetor derivada \alpha'(t) (o vetor tangente).]

Passo 3

Relembrando regras de derivação que vamos usar (passo-a-passo, sem pular):
  • Regra da soma: \dfrac{d}{dt}\bigl(u(t)+v(t)\bigr)=u'(t)+v'(t).
  • Regra do múltiplo constante: \dfrac{d}{dt}\bigl(c\cdot u(t)\bigr)=c\cdot u'(t), onde c é constante.
  • Regra de potência (caso polinomial): \dfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{\,n-1}.
  • Derivadas trigonométricas básicas:
    \dfrac{d}{dt}\operatorname{sen} t=\cos t, \dfrac{d}{dt}\cos t=-\operatorname{sen} t, \dfrac{d}{dt}\tan t=\operatorname{sec}^{2}t.
Agora aplicamos essas regras a cada componente:
  1. Para \alpha_{1}(t)=2t:
\alpha_{1}'(t)=\dfrac{d}{dt}(2t)=2\cdot\dfrac{d}{dt}t=2.
  1. Para \alpha_{2}(t)=\operatorname{sen} t:
\alpha_{2}'(t)=\dfrac{d}{dt}\operatorname{sen} t=\cos t.
  1. Para \alpha_{3}(t)=4t^{3}-3\tan t:
  • Derivada de 4t^{3}: use potência e múltiplo constante:
\dfrac{d}{dt}4t^{3}=4\cdot 3t^{2}=12t^{2}.
  • Derivada de -3\tan t: múltiplo constante e derivada de \tan:
\dfrac{d}{dt}\bigl(-3\tan t\bigr)=-3\cdot \dfrac{d}{dt}\tan t=-3\operatorname{sec}^{2}t.
Somando:
\alpha_{3}'(t)=12t^{2}-3\operatorname{sec}^{2}t.

Passo 4

Agora montamos a matriz jacobiana a partir das derivadas calculadas. Conforme a forma discutida:
J_{\alpha}(t)=\begin{pmatrix} \alpha_{1}'(t)\\[6pt] \alpha_{2}'(t)\\[6pt] \alpha_{3}'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\[6pt] \cos t\\[6pt] 12t^{2}-3\operatorname{sec}^{2}t \end{pmatrix}.]

Resposta

J_{\alpha}(t)=\begin{pmatrix} 2\\[6pt] \cos t\\[6pt] 12t^{2}-3\operatorname{sec}^{2}t \end{pmatrix}]

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