Determine o máximo e o mínimo (absolutos) de
no conjunto
indicado:
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos (máximo e mínimo) da função
no conjunto
. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
- Função:
. - Domínio pedido:
(disco fechado de raio centrado na origem). - Objetivo: determinar o valor mínimo absoluto de
em e onde ele ocorre; determinar o valor máximo absoluto de em e onde ele ocorre.
Passo 2
Observação sobre existência de extremos:
é compacto (fechado e limitado) e a função
é contínua em
. Pelo Teorema do Valor Extremo para funções contínuas em conjuntos compactos,
atinge mínimo e máximo absolutos em
. Logo, extremos existem e estão em algum ponto de
.
Passo 3
Simplificação usando a simetria radial: a função depende apenas de
, a distância ao centro. Defino
Então posso escrever
como função única de
:
Isso reduz o problema de duas variáveis para um problema de uma variável
em
.
Passo 4
Estudo do comportamento de
em
. Calculo a derivada para ver monotonicidade:
Para
tem-se
(igual a
só em
). Portanto
é crescente em
. Intuição: aumentar a distância ao centro aumenta
e, como a raiz quadrada é crescente, aumenta
.
Passo 5
Consequência da monotonicidade:
- O menor valor de
em ocorre em (extremo esquerdo do intervalo). - O maior valor de
em ocorre em (extremo direito do intervalo).
Passo 6
Cálculo dos valores e onde ocorrem:
- Para
(isto é, ou seja ):
Logo o mínimo absoluto é
e ocorre em
.
- Para
(isto é, , pontos do contorno do disco):
Logo o máximo absoluto é
e ocorre para todos os pontos
tais que
(o círculo unitário).
Passo 7
Comentário curto sobre outros métodos: poderia-se também usar multiplicadores de Lagrange para procurar extremos no contorno
, mas a observação da dependência somente de
e a monotonicidade de
tornam o método direto mais simples e rápido — por isso o usei.
Resposta
Mínimo absoluto:
em
.
Máximo absoluto: em todos os pontos com
.
Máximo absoluto: