Determine o máximo e o mínimo (absolutos) de z=f(x ; y) no conjunto D indicado:
(b) z=\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}, D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos (máximo e mínimo) da função z=f(x;y) no conjunto D. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Função: z=\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}.
  • Domínio pedido: D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} : x^{2}+y^{2}\leq 1\} (disco fechado de raio 1 centrado na origem).
  • Objetivo: determinar o valor mínimo absoluto de z em D e onde ele ocorre; determinar o valor máximo absoluto de z em D e onde ele ocorre.

Passo 2

Observação sobre existência de extremos: D é compacto (fechado e limitado) e a função f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+1} é contínua em \mathbb{R}^{2}. Pelo Teorema do Valor Extremo para funções contínuas em conjuntos compactos, f atinge mínimo e máximo absolutos em D. Logo, extremos existem e estão em algum ponto de D.

Passo 3

Simplificação usando a simetria radial: a função depende apenas de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, a distância ao centro. Defino
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad r\in[0,1]\\ \text{para }(x,y)\in D.
Então posso escrever z como função única de r:
z=g(r)=\sqrt{r^{2}+1},\qquad 0\le r\le 1.
Isso reduz o problema de duas variáveis para um problema de uma variável r em [0,1].

Passo 4

Estudo do comportamento de g(r)=\sqrt{r^{2}+1} em [0,1]. Calculo a derivada para ver monotonicidade:
g'(r)=\frac{d}{dr}\sqrt{r^{2}+1}=\frac{1}{2}(r^{2}+1)^{-1/2}\cdot 2r=\frac{r}{\sqrt{r^{2}+1}}.
Para r\in[0,1] tem-se g'(r)\ge 0 (igual a 0 só em r=0). Portanto g é crescente em [0,1]. Intuição: aumentar a distância ao centro aumenta x^{2}+y^{2} e, como a raiz quadrada é crescente, aumenta z.

Passo 5

Consequência da monotonicidade:
  • O menor valor de g(r) em [0,1] ocorre em r=0 (extremo esquerdo do intervalo).
  • O maior valor de g(r) em [0,1] ocorre em r=1 (extremo direito do intervalo).

Passo 6

Cálculo dos valores e onde ocorrem:
  • Para r=0 (isto é, x^{2}+y^{2}=0 ou seja (x,y)=(0,0)):
z_{\min}=g(0)=\sqrt{0^{2}+1}=1.
Logo o mínimo absoluto é 1 e ocorre em (0,0).
  • Para r=1 (isto é, x^{2}+y^{2}=1, pontos do contorno do disco):
z_{\max}=g(1)=\sqrt{1^{2}+1}=\sqrt{2}.
Logo o máximo absoluto é \sqrt{2} e ocorre para todos os pontos (x,y) tais que x^{2}+y^{2}=1 (o círculo unitário).

Passo 7

Comentário curto sobre outros métodos: poderia-se também usar multiplicadores de Lagrange para procurar extremos no contorno x^{2}+y^{2}=1, mas a observação da dependência somente de r e a monotonicidade de g tornam o método direto mais simples e rápido — por isso o usei.

Resposta

Mínimo absoluto: z_{\min}=1 em (x,y)=(0,0).
Máximo absoluto: z_{\max}=\sqrt{2} em todos os pontos com x^{2}+y^{2}=1.

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