Quais das seguintes funções tem um máximo ou mínimo em
.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pergunta qual(is) das funções dadas tem(m) máximo ou mínimo em
. A função (a) é
Vou trabalhar apenas com essa função e responder se ela tem máximo global ou mínimo global (na reta
) e também comentar sobre extremos locais relevantes.
Passo 2
Primeiro, algumas definições claras e úteis (não assuma nada, vamos devagar):
- Dizemos que
tem um máximo global em se existe um ponto tal que, para todo ,
- Dizemos que
tem um mínimo global em se existe um ponto tal que, para todo ,
- O alcance (ou imagem) da função é o conjunto de valores reais que
assume quando varia em . Uma forma direta de saber se existe máximo ou mínimo global é determinar esse alcance: se ele for um intervalo fechado que atinge uma extremidade, essa extremidade pode ser máximo ou mínimo atingido; se for aberto ou ilimitado, pode não haver extremum global. - Outra ideia: procurar pontos críticos (onde o gradiente é nulo) pode indicar candidatos a extremos locais; para decidir se são mínimo, máximo ou sela usa-se a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas.
Passo 3
Analisar a forma da função por decompor o expoente. Defina a função auxiliar
Então
Vamos estudar o alcance de
e o comportamento de
para
.
Passo 4
Mostrar que
é não limitado superiormente nem inferiormente:
- Se tomarmos a reta
, então . Ao fazermos (ou ), temos . Em TeX:
- Se tomarmos a reta
, então . Ao fazermos (ou ), temos . Em TeX:
Portanto
assume valores arbitrariamente grandes positivos e arbitrariamente grandes negativos. Conclusão prática: o conjunto
é todo
.
Passo 5
Agora passe para
. Sabendo que
pode ser qualquer número real:
- Como a função exponencial
é contínua e satisfaz
então o alcance de
é
. Ou seja, os valores possíveis de
são todos os números reais estritamente positivos.
- Consequências imediatas:
- Não existe máximo global porque
não tem supremum finito (os valores de podem crescer sem limite quando ). Em termos práticos, ao seguir e obtém-se . - Não existe mínimo global porque o ínfimo do alcance é
, mas para todo (a exponencial nunca é zero). Portanto é apenas o ínfimo, não é atingido por nenhum ponto, então não há mínimo alcançado.
- Não existe máximo global porque
Passo 6
Para sermos completos e mostrarmos também que não há extremos locais não-triviais além da classificação do ponto crítico, calculamos os pontos críticos e a Hessiana (isso ajuda a entender o comportamento perto de pontos importantes).
- Calcule o gradiente de
. Primeiro escreva explicitamente . As derivadas parciais são:
- Pontos críticos: resolvemos
. Como sempre, isso equivale a
Logo há um único ponto crítico:
.
- Classificação do ponto crítico usando derivadas segundas. Calcule as segundas derivadas:
Avalie essas expressões em
(note que
):
- Determinante da Hessiana em
:
Quando
o ponto crítico é um ponto de sela (saddle), ou seja, não é nem mínimo nem máximo local. Conclusão local:
é um ponto de sela.
Passo 7
Resumo didático e intuitivo (tipo amigo explicando): a função pode ficar arbitrariamente grande seguindo direções em que
domina, e pode ficar arbitrariamente próxima de zero seguindo direções em que
domina. A exponencial nunca atinge zero, então não há mínimo; e como cresce sem limite, não há máximo. O único ponto onde o gradiente some é
, mas ali a função tem comportamento de sela (cresce em algumas direções e decresce em outras), então também não é extremo local.
Resposta
A função
não tem máximo nem mínimo em
.