Quais das seguintes funções tem um máximo ou mínimo em mathbb{R}^{2}.
(a) z=e^{\left(x^{2}-y^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pergunta qual(is) das funções dadas tem(m) máximo ou mínimo em \mathbb{R}^{2}. A função (a) é
z = e^{\left(x^{2}-y^{2}\right)}.
Vou trabalhar apenas com essa função e responder se ela tem máximo global ou mínimo global (na reta \mathbb{R}^{2}) e também comentar sobre extremos locais relevantes.

Passo 2

Primeiro, algumas definições claras e úteis (não assuma nada, vamos devagar):
  • Dizemos que z tem um máximo global em \mathbb{R}^{2} se existe um ponto (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^{2} tal que, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2},
z(x,y)\le z(x_0,y_0).
  • Dizemos que z tem um mínimo global em \mathbb{R}^{2} se existe um ponto (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^{2} tal que, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2},
z(x,y)\ge z(x_0,y_0).
  • O alcance (ou imagem) da função é o conjunto de valores reais que z assume quando (x,y) varia em \mathbb{R}^{2}. Uma forma direta de saber se existe máximo ou mínimo global é determinar esse alcance: se ele for um intervalo fechado que atinge uma extremidade, essa extremidade pode ser máximo ou mínimo atingido; se for aberto ou ilimitado, pode não haver extremum global.
  • Outra ideia: procurar pontos críticos (onde o gradiente é nulo) pode indicar candidatos a extremos locais; para decidir se são mínimo, máximo ou sela usa-se a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas.

Passo 3

Analisar a forma da função por decompor o expoente. Defina a função auxiliar
f(x,y)=x^{2}-y^{2}.
Então
z(x,y)=e^{f(x,y)}.
Vamos estudar o alcance de f e o comportamento de e^{t} para t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Mostrar que f é não limitado superiormente nem inferiormente:
  • Se tomarmos a reta y=0, então f(x,0)=x^{2}. Ao fazermos x\to+\infty (ou x\to-\infty), temos f(x,0)\to+\infty. Em TeX:
\lim_{x\to\infty} f(x,0)=\lim_{x\to\infty} x^{2}=+\infty.
  • Se tomarmos a reta x=0, então f(0,y)=-y^{2}. Ao fazermos y\to+\infty (ou y\to-\infty), temos f(0,y)\to-\infty. Em TeX:
\lim_{y\to\infty} f(0,y)=\lim_{y\to\infty} -y^{2}=-\infty.
Portanto f(x,y) assume valores arbitrariamente grandes positivos e arbitrariamente grandes negativos. Conclusão prática: o conjunto \{f(x,y) : (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\} é todo \mathbb{R}.

Passo 5

Agora passe para z=e^{f}. Sabendo que f pode ser qualquer número real:
  • Como a função exponencial t\mapsto e^{t} é contínua e satisfaz
e^{\mathbb{R}}=(0,+\infty),
então o alcance de z é (0,+\infty). Ou seja, os valores possíveis de z são todos os números reais estritamente positivos.
  • Consequências imediatas:
    • Não existe máximo global porque (0,+\infty) não tem supremum finito (os valores de z podem crescer sem limite quando f\to+\infty). Em termos práticos, ao seguir y=0 e x\to\infty obtém-se z\to+\infty.
    • Não existe mínimo global porque o ínfimo do alcance é 0, mas z(x,y)>0 para todo (x,y) (a exponencial nunca é zero). Portanto 0 é apenas o ínfimo, não é atingido por nenhum ponto, então não há mínimo alcançado.

Passo 6

Para sermos completos e mostrarmos também que não há extremos locais não-triviais além da classificação do ponto crítico, calculamos os pontos críticos e a Hessiana (isso ajuda a entender o comportamento perto de pontos importantes).
  • Calcule o gradiente de z. Primeiro escreva explicitamente z(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}. As derivadas parciais são:
\frac{\partial z}{\partial x}=2x\,e^{x^{2}-y^{2}}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-2y\,e^{x^{2}-y^{2}}.
  • Pontos críticos: resolvemos \nabla z = (0,0). Como e^{x^{2}-y^{2}}>0 sempre, isso equivale a
2x=0,\qquad -2y=0 \quad\Rightarrow\quad x=0,\\ y=0.
Logo há um único ponto crítico: (0,0).
  • Classificação do ponto crítico usando derivadas segundas. Calcule as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=e^{x^{2}-y^{2}}(2+4x^{2}),
\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=e^{x^{2}-y^{2}}(-2+4y^{2}),
\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}=-4xy\,e^{x^{2}-y^{2}}.
Avalie essas expressões em (0,0) (note que e^{0}=1):
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}(0,0)=2, \qquad \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}(0,0)=-2, \qquad \frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}(0,0)=0.
  • Determinante da Hessiana em (0,0):
D(0,0)=\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}(0,0)\cdot\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}(0,0)-\left(\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}(0,0)\right)^{2}=2\cdot(-2)-0=-4<0.
Quando D<0 o ponto crítico é um ponto de sela (saddle), ou seja, não é nem mínimo nem máximo local. Conclusão local: (0,0) é um ponto de sela.

Passo 7

Resumo didático e intuitivo (tipo amigo explicando): a função pode ficar arbitrariamente grande seguindo direções em que x^{2} domina, e pode ficar arbitrariamente próxima de zero seguindo direções em que y^{2} domina. A exponencial nunca atinge zero, então não há mínimo; e como cresce sem limite, não há máximo. O único ponto onde o gradiente some é (0,0), mas ali a função tem comportamento de sela (cresce em algumas direções e decresce em outras), então também não é extremo local.

Resposta

A função z=e^{\left(x^{2}-y^{2}\right)} não tem máximo nem mínimo em \mathbb{R}^{2}.

Exercícios relacionados