Determine o máximo e o mínimo (absolutos) de
no conjunto
indicado:
(f)
.
(f)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o máximo e o mínimo absolutos de
no conjunto
.
Informações fornecidas:
- A função é
. - O conjunto é
. - Observações úteis (tiradas do enunciado):
é o disco fechado centrado em com raio . O ponto não pertence a (pois a distância de ao centro é ), logo está bem definida em todo .
O que é pedido explicitamente:
- Achar o(s) ponto(s) em
onde atinge valor máximo absoluto e o(s) ponto(s) onde atinge valor mínimo absoluto, e indicar os respectivos valores de .
Passo 2
Garantia de existência de extremos:
é compacto (fechado e limitado) e
é contínua em
(pois
em todo
). Pelo Teorema do Valor Extremo,
atinge máximo e mínimo absolutos em
. Agora vamos encontrar onde isso ocorre.
Passo 3
Procurar pontos críticos interiores: calculemos as derivadas parciais para ver se existe algum ponto crítico dentro do interior do disco.
Derivadas parciais:
Para ter um ponto crítico interior, precisaríamos que ambas derivadas se anulassem simultaneamente:
Essas igualdades implicam
e
, ou seja, o único candidato é
. Mas
. Portanto não há pontos críticos no interior de
.
Passo 4
Conclusão sobre onde procurar extremos: como não há pontos críticos no interior, os extremos devem ocorrer na fronteira de
, isto é no círculo
. Outra observação útil:
depende apenas de
. Se escrevermos
, então
Logo
é estritamente decrescente em relação a
: quanto menor a distância ao origem, maior
; quanto maior a distância ao origem, menor
. Portanto, para achar máximos devemos procurar pontos de
que minimizem
; para achar mínimos devemos procurar pontos de
que maximizem
.
Passo 5
Determinar os menores e maiores valores de
sobre
. Geometricamente,
é o disco centrado em
com raio
. A distância do centro
até a origem é
. Num disco, a menor distância da origem a um ponto do disco é
(quando se vai na direção da origem), e a maior distância é
(quando se vai para o lado oposto). Esses valores são atingidos na fronteira do disco.
Para ser completamente explícito, podemos parametrizar a fronteira:
Então
Como
, temos
. Assim
e
. Os pontos que realizam esses extremos são:
-
quando , ou seja , que dá . -
quando , ou seja , que dá .
Passo 6
Agora obter os valores de
nesses pontos, lembrando
:
- Em
: então . - Em
: então .
Pelo comportamento monotônico de
em
e pela ausência de pontos críticos interiores, estes são, respectivamente, o máximo absoluto e o mínimo absoluto de
em
.
Resposta
Máximo absoluto:
em
.\n
Mínimo absoluto: em
.
Mínimo absoluto: