Determine o máximo e o mínimo (absolutos) de z=f(x ; y) no conjunto D indicado:
(f) z=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}, D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:(x-2)^{2}+y^{2} \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o máximo e o mínimo absolutos de z=f(x,y) no conjunto D.
Informações fornecidas:
  • A função é z=f(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}.
  • O conjunto é D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:(x-2)^{2}+y^{2}\le 1\}.
  • Observações úteis (tiradas do enunciado): D é o disco fechado centrado em (2,0) com raio 1. O ponto (0,0) não pertence a D (pois a distância de (0,0) ao centro (2,0) é 2>1), logo f está bem definida em todo D.
O que é pedido explicitamente:
  • Achar o(s) ponto(s) em D onde z atinge valor máximo absoluto e o(s) ponto(s) onde z atinge valor mínimo absoluto, e indicar os respectivos valores de z.

Passo 2

Garantia de existência de extremos: D é compacto (fechado e limitado) e f é contínua em D (pois x^{2}+y^{2}>0 em todo D). Pelo Teorema do Valor Extremo, f atinge máximo e mínimo absolutos em D. Agora vamos encontrar onde isso ocorre.

Passo 3

Procurar pontos críticos interiores: calculemos as derivadas parciais para ver se existe algum ponto crítico dentro do interior do disco.
Derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{d}{dx}\left((x^{2}+y^{2})^{-1}\right) = -\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{d}{dy}\left((x^{2}+y^{2})^{-1}\right) = -\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Para ter um ponto crítico interior, precisaríamos que ambas derivadas se anulassem simultaneamente:
-\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=0,\qquad -\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=0.
Essas igualdades implicam x=0 e y=0, ou seja, o único candidato é (0,0). Mas (0,0)\notin D. Portanto não há pontos críticos no interior de D.

Passo 4

Conclusão sobre onde procurar extremos: como não há pontos críticos no interior, os extremos devem ocorrer na fronteira de D, isto é no círculo (x-2)^{2}+y^{2}=1. Outra observação útil: f depende apenas de r^{2}=x^{2}+y^{2}. Se escrevermos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0, então
f(r)=\frac{1}{r^{2}},\qquad \frac{df}{dr}=-\frac{2}{r^{3}}<0.
Logo f é estritamente decrescente em relação a r: quanto menor a distância ao origem, maior f; quanto maior a distância ao origem, menor f. Portanto, para achar máximos devemos procurar pontos de D que minimizem r; para achar mínimos devemos procurar pontos de D que maximizem r.

Passo 5

Determinar os menores e maiores valores de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} sobre D. Geometricamente, D é o disco centrado em (2,0) com raio 1. A distância do centro (2,0) até a origem é 2. Num disco, a menor distância da origem a um ponto do disco é 2-1=1 (quando se vai na direção da origem), e a maior distância é 2+1=3 (quando se vai para o lado oposto). Esses valores são atingidos na fronteira do disco.
Para ser completamente explícito, podemos parametrizar a fronteira:
x=2+\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Então
x^{2}+y^{2}=(2+\cos t)^{2}+\sin^{2}t = 4+4\cos t+\cos^{2}t+\sin^{2}t = 5+4\cos t.
Como \cos t\in[-1,1], temos x^{2}+y^{2}\in[5-4,\,5+4]=[1,9]. Assim r_{\min}=\sqrt{1}=1 e r_{\max}=\sqrt{9}=3. Os pontos que realizam esses extremos são:
  • r=1 quando \cos t=-1, ou seja t=\pi, que dá (x,y)=(1,0).
  • r=3 quando \cos t=1, ou seja t=0, que dá (x,y)=(3,0).

Passo 6

Agora obter os valores de f nesses pontos, lembrando f=\dfrac{1}{r^{2}}:
  • Em (1,0): r^{2}=1 então f(1,0)=\dfrac{1}{1}=1.
  • Em (3,0): r^{2}=9 então f(3,0)=\dfrac{1}{9}.
Pelo comportamento monotônico de f em r e pela ausência de pontos críticos interiores, estes são, respectivamente, o máximo absoluto e o mínimo absoluto de f em D.

Resposta

Máximo absoluto: \;z_{\max}=1\; em \;(1,0).\n
Mínimo absoluto: \;z_{\min}=\dfrac{1}{9}\; em \;(3,0).

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