Estude os máximos e mínimos locais das funções abaixo:
(c) f(x, y)=-x^{2}+y^{2}+y^{5}-5 x-5 y

Passo 1

O enunciado pede: estudar os máximos e mínimos locais da função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f(x,y) = -x^{2} + y^{2} + y^{5} - 5x - 5y.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x,y) (já escrita acima).
  • Pedido: localizar e classificar os pontos críticos (máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela).

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais primeiras e montar o sistema \nabla f=0 (gradiente nulo) para encontrar pontos críticos.
Derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} = f_x = -2x - 5, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = f_y = 2y + 5y^{4} - 5.
Explicando rapidamente: \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo; similar para \frac{\partial f}{\partial y}. Para cada termo: a derivada de -x^2 em x é -2x, de -5x é -5; a derivada de y^5 em y é 5y^4, etc.
Pontos críticos resolvem o sistema
\begin{cases} -2x - 5 = 0,\\[4pt] 2y + 5y^{4} - 5 = 0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver a primeira equação para x:
-2x - 5 = 0 \Longrightarrow x = -\dfrac{5}{2}.
Portanto todos os pontos críticos têm x = -\dfrac{5}{2}. Agora resta achar os y que satisfazem
5y^{4} + 2y - 5 = 0.
Esse é um polinômio em y. Não é razoável fatorá-lo por olho; vamos estudar sinais e usar bisseção/estimação para localizar as raízes reais. Denotemos
g(y)=5y^{4}+2y-5.
Observações sobre g:
  • g(0)=-5<0.
  • g(1)=5+2-5=2>0. Logo existe uma raiz em (0,1) por Bolzano.
  • g(-1)=5-2-5=-2<0.
  • g(-2)=80-4-5=71>0. Logo existe uma raiz em (-2,-1).
Como g é de grau par e com coeficiente líder positivo, e o cálculo de g'(y)=20y^{3}+2 mostra que g tem apenas um ponto crítico real (em y\approx-0,464), conclui-se que g cruza o eixo duas vezes: uma raiz negativa em (-2,-1) e uma raiz positiva em (0,1). Vamos aproximá‑las numericamente (bisseção / refinação manual).

Passo 4

Aproximação da raiz negativa em (-2,-1).
Testes rápidos:
g(-1{,}10)=5(-1{,}10)^{4}+2(-1{,}10)-5 =5(1{,}4641)-2{,}2-5=7{,}3205-7{,}2=0{,}1205>0.
g(-1{,}05)=5(-1{,}05)^{4}+2(-1{,}05)-5 \approx5(1{,}2155)-2{,}1-5=6{,}0775-7{,}1=-1{,}0225<0.
Então a raiz está em (-1{,}10,-1{,}05). Refinação:
g(-1{,}095)\approx -0{,}002\quad(\text{muito próximo de }0).ó
Com uma pequena refinação obtemos
y_{1}\approx -1{,}0951.

Passo 5

Aproximação da raiz positiva em (0,1).
Testes rápidos:
g(0{,}8)=5(0{,}8)^{4}+2(0{,}8)-5=5(0{,}4096)+1{,}6-5=2{,}048+1{,}6-5=-1{,}352<0.
g(0{,}9)=5(0{,}9)^{4}+2(0{,}9)-5=5(0{,}6561)+1{,}8-5=3{,}2805+1{,}8-5=0{,}0805>0.
Então raiz em (0{,}8,0{,}9). Refinação:
g(0{,}895)\approx -0{,}018,\qquad g(0{,}897)\approx 0{,}031,
logo a raiz situa‑se em torno de 0{,}8951. Assim
y_{2}\approx 0{,}8951.
Concluímos que os pontos críticos reais são
\left(x,y\right)=\left(-\dfrac{5}{2},\,y_{1}\right)\approx\left(-\dfrac{5}{2},\,-1{,}0951\right) \quad\text{e}\quad \left(-\dfrac{5}{2},\,y_{2}\right)\approx\left(-\dfrac{5}{2},\,0{,}8951\right).

Passo 6

Agora classificar cada ponto crítico usando o teste da matriz Hessiana.
Calcular segundas derivadas:
f_{xx} = -2,\qquad f_{yy} = 2 + 20y^{3},\qquad f_{xy}=f_{yx}=0.
A matriz Hessiana H em um ponto é \begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix}. O discriminante (determinante) é
D = \det H = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2} = (-2)\bigl(2+20y^{3}\bigr) = -4 - 40y^{3}.
Lembrete do teste (explicando de forma simples): se D>0 e f_{xx}<0 então temos máximo local; se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local; se D<0 ponto de sela; se D=0 o teste é inconclusivo.
Aqui f_{xx}=-2<0 sempre, portanto:
  • Se D>0 temos máximo local.
  • Se D<0 temos ponto de sela.
  • D=0 é degenerado (não ocorre nas raízes que encontramos).
Resolver condição D>0:
-4-40y^{3}>0 \Longrightarrow -40y^{3}>4 \Longrightarrow y^{3}<-\tfrac{1}{10} \Longrightarrow y<-\bigl(\tfrac{1}{10}\bigr)^{1/3}\approx -0{,}46416.
Portanto para y menor que \approx -0{,}46416 temos D>0 (máximo local), e para y maior que isso temos D<0 (sela).]

Passo 7

Aplicar a classificação aos dois y que achamos:
  • Para y_{1}\approx -1{,}0951 temos y_{1}< -0{,}46416. Logo D>0 e como f_{xx}=-2<0 concluímos que em \left(-\dfrac{5}{2},\, -1{,}0951\right) existe um máximo local.
  • Para y_{2}\approx 0{,}8951 temos y_{2}> -0{,}46416. Logo D<0 e o ponto \left(-\dfrac{5}{2},\,0{,}8951\right) é um ponto de sela (não é nem máximo nem mínimo local).

Passo 8

Comentário adicional (útil para prova): como f_{xx}=-2<0 não há possibilidade de mínimo local em nenhum ponto crítico (já que para mínimo local precisaríamos f_{xx}>0 quando D>0). Sobre máximos/mínimos globais: a função tem termo y^{5} que cresce para +\infty quando y\to+\infty e decresce para -\infty quando y\to-\infty; portanto não há máximo ou mínimo global alcançado em toda \mathbb{R}^2 (há pelo menos comportamento que vai a +\infty e a -\infty em direções apropriadas).

Resposta

Máximo local em \displaystyle\left(-\dfrac{5}{2},\,-1{,}0951\right) (aprox.).
Ponto de sela em \displaystyle\left(-\dfrac{5}{2},\,0{,}8951\right) (aprox.).

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