Estude os máximos e mínimos locais das funções abaixo:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede: estudar os máximos e mínimos locais da função
dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
(já escrita acima). - Pedido: localizar e classificar os pontos críticos (máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela).
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais primeiras e montar o sistema
(gradiente nulo) para encontrar pontos críticos.
Derivadas parciais:
Explicando rapidamente:
é a derivada de
em relação a
mantendo
fixo; similar para
. Para cada termo: a derivada de
em
é
, de
é
; a derivada de
em
é
, etc.
Pontos críticos resolvem o sistema
Passo 3
Resolver a primeira equação para
:
Portanto todos os pontos críticos têm
. Agora resta achar os
que satisfazem
Esse é um polinômio em
. Não é razoável fatorá-lo por olho; vamos estudar sinais e usar bisseção/estimação para localizar as raízes reais. Denotemos
Observações sobre
:
-
. -
. Logo existe uma raiz em por Bolzano. -
. -
. Logo existe uma raiz em .
Como
é de grau par e com coeficiente líder positivo, e o cálculo de
mostra que
tem apenas um ponto crítico real (em
), conclui-se que
cruza o eixo duas vezes: uma raiz negativa em
e uma raiz positiva em
. Vamos aproximá‑las numericamente (bisseção / refinação manual).
Passo 4
Aproximação da raiz negativa em
.
Testes rápidos:
Então a raiz está em
. Refinação:
Com uma pequena refinação obtemos
Passo 5
Aproximação da raiz positiva em
.
Testes rápidos:
Então raiz em
. Refinação:
logo a raiz situa‑se em torno de
. Assim
Concluímos que os pontos críticos reais são
Passo 6
Agora classificar cada ponto crítico usando o teste da matriz Hessiana.
Calcular segundas derivadas:
A matriz Hessiana
em um ponto é
. O discriminante (determinante) é
Lembrete do teste (explicando de forma simples): se
e
então temos máximo local; se
e
então mínimo local; se
ponto de sela; se
o teste é inconclusivo.
Aqui
sempre, portanto:
- Se
temos máximo local. - Se
temos ponto de sela. -
é degenerado (não ocorre nas raízes que encontramos).
Resolver condição
:
Portanto para
menor que
temos
(máximo local), e para
maior que isso temos
(sela).]
Passo 7
Aplicar a classificação aos dois
que achamos:
-
Para
temos . Logo e como concluímos que em existe um máximo local. -
Para
temos . Logo e o ponto é um ponto de sela (não é nem máximo nem mínimo local).
Passo 8
Comentário adicional (útil para prova): como
não há possibilidade de mínimo local em nenhum ponto crítico (já que para mínimo local precisaríamos
quando
). Sobre máximos/mínimos globais: a função tem termo
que cresce para
quando
e decresce para
quando
; portanto não há máximo ou mínimo global alcançado em toda
(há pelo menos comportamento que vai a
e a
em direções apropriadas).
Resposta
Máximo local em
(aprox.).
Ponto de sela em (aprox.).
Ponto de sela em