Determine os máximos locais e pontos de sela das seguintes funções: f(x, y)=x^{2} y+12 x^{2}-8 y

Passo 1

O enunciado pede para determinar os máximos locais e os pontos de sela da função
f(x,y)=x^{2}y+12x^{2}-8y.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função está definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • O que se quer: encontrar pontos críticos (onde podem existir máximos locais, mínimos locais ou sela) e classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 2

Como identificar pontos candidatos (críticos).
Explicação didática: para funções de duas variáveis, um ponto crítico é um ponto onde o gradiente é o vetor zero. O gradiente é a coleção das derivadas parciais, que medem a variação da função quando variamos x ou y separadamente. Ou seja, calculemos as derivadas parciais de f.
Cálculo das derivadas parciais (passo a passo):
  • Derivada parcial em relação a x: trate y como constante. Para cada termo:
    • \partial/\partial x de x^{2}y é 2x\cdot y (porque derivada de x^2 é 2x, e y é constante).
    • \partial/\partial x de 12x^{2} é 24x.
    • \partial/\partial x de -8y é 0.
      Portanto
    f_x(x,y)=2xy+24x=2x(y+12).
  • Derivada parcial em relação a y: trate x como constante. Para cada termo:
    • \partial/\partial y de x^{2}y é x^{2}.
    • \partial/\partial y de 12x^{2} é 0.
    • \partial/\partial y de -8y é -8.
      Portanto
    f_y(x,y)=x^{2}-8.
Ponto crítico ocorre quando ambas as derivadas parciais são zero simultaneamente:
f_x(x,y)=0,\qquad f_y(x,y)=0.

Passo 3

Resolver o sistema de equações f_x=0 e f_y=0.
Escrevendo as equações:
2x(y+12)=0, \qquad x^{2}-8=0.
Analisando a primeira equação 2x(y+12)=0: ela é satisfeita se e somente se x=0 ou y=-12.
Analisando a segunda equação x^{2}-8=0: ela é satisfeita quando
x^{2}=8 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2\sqrt{2}.
Agora combinar as duas condições:
  • Se x=0, então a segunda equação ficaria 0^{2}-8=-8\neq0. Logo x=0 não satisfaz f_y=0. Portanto não há ponto crítico com x=0.
  • Logo deve valer y=-12. Substituindo y=-12 na segunda equação obtemos x^{2}=8, ou seja x=\pm 2\sqrt{2}.
Conclusão desta etapa: os pontos críticos são
\bigl(2\sqrt{2},\,-12\bigr)\qquad\text{e}\qquad\bigl(-2\sqrt{2},\,-12\bigr).

Passo 4

Classificação dos pontos críticos (máximo, mínimo ou sela).
Explicação didática: para funções de duas variáveis costuma-se usar a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) e o determinante D associado no ponto crítico. As segundas derivadas são:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x(y+12)\bigr)=2(y+12),
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x(y+12)\bigr)=2x,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-8\bigr)=0.
A definição prática do discriminante para classificação é
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
Substituindo as segundas derivadas:
D(x,y)=\bigl(2(y+12)\bigr)\cdot 0 - (2x)^{2} = -4x^{2}.
Agora avaliar D nos pontos críticos onde x^{2}=8:
D = -4x^{2} = -4\cdot 8 = -32 < 0.
Interpretação (regra de classificação):
  • Se D>0 e f_{xx}>0, o ponto é mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0, o ponto é máximo local.
  • Se D<0, o ponto é ponto de sela.
  • Se D=0, o teste é inconclusivo.
Aqui, em ambos os pontos críticos D<0. Portanto ambos são pontos de sela. Não há máximos locais nem mínimos locais entre os pontos críticos encontrados.

Passo 5

Resumo final e incentivo rápido: encontramos exatamente dois pontos críticos e, usando o critério da Hessiana, os classificamos como pontos de sela porque o discriminante saiu negativo em ambos. Não apareceu nenhum ponto com D>0, então não existem máximos locais (nem mínimos locais) entre os pontos críticos.

Resposta

Pontos de sela: \bigl(2\sqrt{2},-12\bigr)
Pontos de sela: \bigl(-2\sqrt{2},-12\bigr)

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