Determine os máximos locais e pontos de sela das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar os máximos locais e os pontos de sela da função
Informações dadas e observações iniciais:
- A função está definida para todos os pares
. - O que se quer: encontrar pontos críticos (onde podem existir máximos locais, mínimos locais ou sela) e classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 2
Como identificar pontos candidatos (críticos).
Explicação didática: para funções de duas variáveis, um ponto crítico é um ponto onde o gradiente é o vetor zero. O gradiente é a coleção das derivadas parciais, que medem a variação da função quando variamos ou
separadamente. Ou seja, calculemos as derivadas parciais de
.
Explicação didática: para funções de duas variáveis, um ponto crítico é um ponto onde o gradiente é o vetor zero. O gradiente é a coleção das derivadas parciais, que medem a variação da função quando variamos
Cálculo das derivadas parciais (passo a passo):
- Derivada parcial em relação a
: trate como constante. Para cada termo: -
de é (porque derivada de é , e é constante). -
de é . -
de é .
Portanto
-
- Derivada parcial em relação a
: trate como constante. Para cada termo: -
de é . -
de é . -
de é .
Portanto
-
Ponto crítico ocorre quando ambas as derivadas parciais são zero simultaneamente:
Passo 3
Resolver o sistema de equações
e
.
Escrevendo as equações:
Analisando a primeira equação
: ela é satisfeita se e somente se
ou
.
Analisando a segunda equação
: ela é satisfeita quando
Agora combinar as duas condições:
- Se
, então a segunda equação ficaria . Logo não satisfaz . Portanto não há ponto crítico com . - Logo deve valer
. Substituindo na segunda equação obtemos , ou seja .
Conclusão desta etapa: os pontos críticos são
Passo 4
Classificação dos pontos críticos (máximo, mínimo ou sela).
Explicação didática: para funções de duas variáveis costuma-se usar a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) e o determinante associado no ponto crítico. As segundas derivadas são:
Explicação didática: para funções de duas variáveis costuma-se usar a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) e o determinante
A definição prática do discriminante para classificação é
Substituindo as segundas derivadas:
Agora avaliar
nos pontos críticos onde
:
Interpretação (regra de classificação):
- Se
e , o ponto é mínimo local. - Se
e , o ponto é máximo local. - Se
, o ponto é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui, em ambos os pontos críticos
. Portanto ambos são pontos de sela. Não há máximos locais nem mínimos locais entre os pontos críticos encontrados.
Passo 5
Resumo final e incentivo rápido: encontramos exatamente dois pontos críticos e, usando o critério da Hessiana, os classificamos como pontos de sela porque o discriminante saiu negativo em ambos. Não apareceu nenhum ponto com
, então não existem máximos locais (nem mínimos locais) entre os pontos críticos.
Resposta
Pontos de sela:
Pontos de sela:
Pontos de sela: