Determine os máximos locais e pontos de sela das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar os máximos locais e os pontos de sela. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função está definida para todo
. - Devemos encontrar pontos críticos (onde as derivadas parciais são zero) e classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais primeiras e entender o que elas significam.
Breve explicação do conceito: a derivada parcial em relação a
, denotada
ou
, mede a taxa de variação de
quando
muda e
fica fixo. O mesmo vale para
trocando
por
.
Calculemos:
Passo 3
Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema
e
.
Portanto há um único ponto crítico:
.
Passo 4
Classificar o ponto crítico usando as derivadas segundas (teste da matriz Hessiana). Explicação do método: para funções de duas variáveis, calcula-se a matriz Hessiana das segundas derivadas
onde
, etc. Defina o discriminante
avaliado no ponto crítico. As regras (resumo):
- Se
e então é máximo local. - Se
e então é mínimo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Calcule as segundas derivadas para a nossa função:
Agora o discriminante:
Como
e
, pelo teste de segunda derivada o ponto
é um máximo local.]
Passo 5
Calcular o valor de
naquele ponto (útil para provar que é o maior valor local e para referência):
Compute passo a passo:
Somando:
. Logo
Passo 6
Verificação alternativa (método elementar e muito útil em prova): completar o quadrado para ver a forma explícita da função e confirmar que o ponto é máximo global.
Escrevendo os termos quadráticos e lineares agrupados:
Complete o quadrado em
:
Complete o quadrado em
:
Substituindo:
Logo
Dessa forma fica claro que para todo
os termos subtraídos são
, então
sempre, e a igualdade ocorre somente quando
e
. Isso mostra que o ponto
não é só máximo local, é o máximo global da função.
Passo 7
Conclusões finais e resposta à pergunta pedida:
- Há exatamente um ponto crítico
. - Esse ponto é máximo local (e de fato máximo global), com valor
. - Não existem pontos de sela para esta função (pois o único ponto crítico é um máximo).
Resposta
Máximo local (e global) em
com
.
Pontos de sela: nenhum.
Pontos de sela: nenhum.