Determine os máximos locais e pontos de sela das seguintes funções: f(x, y)=9-2 x+4 y-x^{2}-4 y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=9-2x+4y-x^{2}-4y^{2}
e pede para determinar os máximos locais e os pontos de sela. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está definida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Devemos encontrar pontos críticos (onde as derivadas parciais são zero) e classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais primeiras e entender o que elas significam.
Breve explicação do conceito: a derivada parcial em relação a x, denotada \partial f/\partial x ou f_x, mede a taxa de variação de f quando x muda e y fica fixo. O mesmo vale para f_y trocando x por y.
Calculemos:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(9-2x+4y-x^{2}-4y^{2}\bigr)=-2-2x,
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(9-2x+4y-x^{2}-4y^{2}\bigr)=4-8y.

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema f_x=0 e f_y=0.
f_x=0 \quad\Longrightarrow\quad -2-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1.
f_y=0 \quad\Longrightarrow\quad 4-8y=0 \quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{1}{2}.
Portanto há um único ponto crítico: \bigl(-1,\tfrac{1}{2}\bigr).

Passo 4

Classificar o ponto crítico usando as derivadas segundas (teste da matriz Hessiana). Explicação do método: para funções de duas variáveis, calcula-se a matriz Hessiana das segundas derivadas
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},
onde f_{xx}=\partial^{2}f/\partial x^{2}, etc. Defina o discriminante D=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2} avaliado no ponto crítico. As regras (resumo):
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Calcule as segundas derivadas para a nossa função:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(-2-2x)=-2,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(4-8y)=-8,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(-2-2x)=0.
Agora o discriminante:
D=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}=(-2)\cdot(-8)-0^{2}=16>0.
Como D>0 e f_{xx}=-2<0, pelo teste de segunda derivada o ponto \bigl(-1,\tfrac{1}{2}\bigr) é um máximo local.]

Passo 5

Calcular o valor de f naquele ponto (útil para provar que é o maior valor local e para referência):
f\!\left(-1,\tfrac{1}{2}\right)=9-2(-1)+4\!\left(\tfrac{1}{2}\right)-(-1)^{2}-4\!\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}.
Compute passo a passo:
9-2(-1)=9+2=11,
4\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=2,
-(-1)^{2}=-1,
-4\!\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=-4\cdot\tfrac{1}{4}=-1.
Somando: 11+2-1-1=11. Logo
f\!\left(-1,\tfrac{1}{2}\right)=11.

Passo 6

Verificação alternativa (método elementar e muito útil em prova): completar o quadrado para ver a forma explícita da função e confirmar que o ponto é máximo global.
Escrevendo os termos quadráticos e lineares agrupados:
f(x,y)=9-2x+4y-x^{2}-4y^{2}.
Complete o quadrado em x:
- x^{2}-2x = -\bigl(x^{2}+2x\bigr) = -\bigl(x+1\bigr)^{2}+1.
Complete o quadrado em y:
-4y^{2}+4y = -4\bigl(y^{2}-y\bigr) = -4\bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}+1.
Substituindo:
f(x,y)=9 +\bigl(+1\bigr)+\bigl(+1\bigr) -\bigl(x+1\bigr)^{2} -4\bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}.
Logo
f(x,y)=11 -\bigl(x+1\bigr)^{2} -4\bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}.
Dessa forma fica claro que para todo (x,y) os termos subtraídos são \ge 0, então f(x,y)\le 11 sempre, e a igualdade ocorre somente quando x+1=0 e y-\tfrac{1}{2}=0. Isso mostra que o ponto \bigl(-1,\tfrac{1}{2}\bigr) não é só máximo local, é o máximo global da função.

Passo 7

Conclusões finais e resposta à pergunta pedida:
  • Há exatamente um ponto crítico \bigl(-1,\tfrac{1}{2}\bigr).
  • Esse ponto é máximo local (e de fato máximo global), com valor f=11.
  • Não existem pontos de sela para esta função (pois o único ponto crítico é um máximo).

Resposta

Máximo local (e global) em \left(-1,\tfrac{1}{2}\right) com f\left(-1,\tfrac{1}{2}\right)=11.
Pontos de sela: nenhum.

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