Determine o ponto do plano x-2y+3z=0 que está mais próximo do ponto (0,1,1)
Passo 1
O enunciado fornece:
O plano dado pela equação x-2y+3z=0.
O ponto fora do plano P_0=(0,1,1).
O que é pedido:
Determinar o ponto do plano que está mais próximo de P_0.
Passo 2
Idéia chave (explicação didática): o ponto do plano mais próximo de um ponto exterior é a projeção ortogonal desse ponto sobre o plano. Em palavras simples: se Q é o ponto do plano que minimiza a distância até P_0, então o segmento \overrightarrow{P_0Q} é perpendicular ao plano. Isso acontece porque, se \overrightarrow{P_0Q} não fosse perpendicular, mover-se na direção perpendicular ao plano reduziria a distância até o plano — contradizendo a minimalidade.
Para usar isso na conta, precisamos do vetor normal ao plano. A equação do plano tem a forma
ax+by+cz=0,
onde (a,b,c) é um vetor normal ao plano. Neste caso o vetor normal é
\mathbf{n}=(1,-2,3).
Vou usar a fórmula da projeção de um ponto em relação a um plano que passa pela origem: se queremos projetar P_0 sobre o plano com normal \mathbf{n}, então o ponto projetado Q pode ser escrito como
Q = P_0 - t\,\mathbf{n},
onde t é um escalar escolhido de modo que Q satisfaça a equação do plano. Agora vou explicar e calcular t.
Passo 3
Condição para Q estar no plano: como a equação do plano é x-2y+3z=0, podemos escrever essa condição de modo vetorial como