Determine o ponto do plano x-2y+3z=0 que está mais próximo do ponto (0,1,1)

Passo 1

O enunciado fornece:
  • O plano dado pela equação x-2y+3z=0.
  • O ponto fora do plano P_0=(0,1,1).
O que é pedido:
  • Determinar o ponto do plano que está mais próximo de P_0.

Passo 2

Idéia chave (explicação didática): o ponto do plano mais próximo de um ponto exterior é a projeção ortogonal desse ponto sobre o plano. Em palavras simples: se Q é o ponto do plano que minimiza a distância até P_0, então o segmento \overrightarrow{P_0Q} é perpendicular ao plano. Isso acontece porque, se \overrightarrow{P_0Q} não fosse perpendicular, mover-se na direção perpendicular ao plano reduziria a distância até o plano — contradizendo a minimalidade.
Para usar isso na conta, precisamos do vetor normal ao plano. A equação do plano tem a forma
ax+by+cz=0,
onde (a,b,c) é um vetor normal ao plano. Neste caso o vetor normal é
\mathbf{n}=(1,-2,3).
Vou usar a fórmula da projeção de um ponto em relação a um plano que passa pela origem: se queremos projetar P_0 sobre o plano com normal \mathbf{n}, então o ponto projetado Q pode ser escrito como
Q = P_0 - t\,\mathbf{n},
onde t é um escalar escolhido de modo que Q satisfaça a equação do plano. Agora vou explicar e calcular t.

Passo 3

Condição para Q estar no plano: como a equação do plano é x-2y+3z=0, podemos escrever essa condição de modo vetorial como
\mathbf{n}\cdot Q = 0.
Substituindo Q = P_0 - t\mathbf{n} obtemos
\mathbf{n}\cdot(P_0 - t\mathbf{n}) = 0.
Desenvolvendo o produto escalar:
\mathbf{n}\cdot P_0 - t\,(\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}) = 0.
Daí isolamos t:
t = \frac{\mathbf{n}\cdot P_0}{\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}}.
Agora calculo os produtos escalares. Primeiro
\mathbf{n}\cdot P_0 = (1)(0)+(-2)(1)+(3)(1) = -2+3 = 1.
E
\mathbf{n}\cdot\mathbf{n} = 1^2+(-2)^2+3^2 = 1+4+9 = 14.
Portanto
t = \frac{1}{14}.

Passo 4

Agora calculo Q = P_0 - t\mathbf{n} componente a componente. Escrevendo t=\dfrac{1}{14} e \mathbf{n}=(1,-2,3):
Q = (0,1,1) - \frac{1}{14}(1,-2,3).
Componentes:
x_Q = 0 - \frac{1}{14} = -\frac{1}{14},
y_Q = 1 - \left(-\frac{2}{14}\right) = 1 + \frac{2}{14} = 1 + \frac{1}{7} = \frac{8}{7},
z_Q = 1 - \frac{3}{14} = \frac{14}{14} - \frac{3}{14} = \frac{11}{14}.
Logo
Q = \left(-\frac{1}{14},\,\frac{8}{7},\,\frac{11}{14}\right).

Passo 5

Verificação rápida (só para ter certeza): substituindo Q na equação do plano deve dar zero.
Calculo:
x_Q - 2y_Q + 3z_Q = -\frac{1}{14} - 2\cdot\frac{8}{7} + 3\cdot\frac{11}{14}.
Colocando tudo em décimos-quatorze avos:
-\frac{1}{14} - \frac{16}{7} + \frac{33}{14} = -\frac{1}{14} - \frac{32}{14} + \frac{33}{14} = 0.
Portanto Q realmente está no plano, como esperado.

Resposta

\left(-\dfrac{1}{14},\,\dfrac{8}{7},\,\dfrac{11}{14}\right)

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