Determine os máximos e mínimos das funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar os máximos e mínimos da função
.
Informações dadas e o que é pedido:
- A função é
. - É preciso encontrar os pontos
onde a função tem extremos (máximos ou mínimos) e classificar cada ponto (máx./mín./nenhum). - Lista de coisas que serão usadas (só identificando; explicarei em detalhe nos próximos passos):
- derivada
para achar pontos críticos; - segunda derivada
e/ou análise do sinal de para classificar os pontos; - cálculo dos valores
nesses pontos para dar as alturas dos extremos.
- derivada
Passo 2
Primeiro cálculo da derivada: a derivada de uma função polinomial dá a inclinação da reta tangente em cada ponto. Regra usada: se
então
. Aplicando termo a termo em
temos:
Posso fatorar para simplificar a resolução:
Fazer essa fatoração é útil porque mostra de cara as raízes da derivada.
Passo 3
Encontrar pontos críticos: pontos críticos são as soluções de
(ou onde
não existe, mas aqui
existe sempre). Solve:
Como
, isso equivale a
ou
. Assim as soluções são:
Esses são os pontos onde a tangente é horizontal (derivada zero) — candidatos a extremos.
Passo 4
Regra da segunda derivada (explicando a ideia): a segunda derivada
mede a curvatura da função. Se
então a curva é côncava para cima em
e o ponto crítico é um mínimo local; se
é côncava para baixo e o ponto é um máximo local. Se
a regra é inconclusiva e precisamos de outro método (análise do sinal de
ou derivadas de ordem mais alta).
Calcule
derivando
:
Também fatorando:
Passo 5
Avaliar
nos pontos críticos
:
Para
:
Como
, concluímos que
é um mínimo local.
Para
:
Como
, concluímos que
é um máximo local.
Passo 6
Tratar o caso
onde
(regra inconclusiva): calcule
e, se quiser, a derivada de ordem superior ou analise o sinal de
perto de zero.
Primeiro,
. Então a segunda derivada não decide.
Uma maneira prática é examinar o sinal de
para
próximos de
. Note que para
pequeno e não nulo temos
mas
(porque
), então o produto
é negativo para
pequeno, tanto à esquerda quanto à direita de zero (o fator
é sempre positivo, não muda de sinal ao atravessar zero). Assim:
- Para
e próximo de : . - Para
e próximo de : .
Como a derivada não muda de sinal ao passar por
(é negativa dos dois lados), a função não tem nem máximo nem mínimo em
. Esse ponto é um ponto de inflexão com tangente horizontal (às vezes chamado de ponto de sela horizontal).
Outra verificação, se quiser, é olhar a terceira derivada:
e
, o que confirma que há uma inflexão com tangente horizontal em
.
Passo 7
Calcular os valores da função nos extremos encontrados, para dar as “alturas”:
Usar fatoração
ou calcular diretamente.
Para
:
Para
:
Portanto o mínimo local vale
em
e o máximo local vale
em
.
Passo 8
Observação sobre extremos globais: como
(polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo) e
, a função não tem máximo global nem mínimo global. Os extremos encontrados são apenas locais.
Resposta
Máximo local em
com valor
.
Mínimo local em com valor
.
Em há um ponto de inflexão com tangente horizontal (nem máximo nem mínimo).
Mínimo local em
Em