Determine os máximos e mínimos das funções:
f(x)=x^{5}-5 x^{3}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os máximos e mínimos da função f(x)=x^{5}-5x^{3}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é f(x)=x^{5}-5x^{3}.
  • É preciso encontrar os pontos x onde a função tem extremos (máximos ou mínimos) e classificar cada ponto (máx./mín./nenhum).
  • Lista de coisas que serão usadas (só identificando; explicarei em detalhe nos próximos passos):
    • derivada f'(x) para achar pontos críticos;
    • segunda derivada f''(x) e/ou análise do sinal de f'(x) para classificar os pontos;
    • cálculo dos valores f(x) nesses pontos para dar as alturas dos extremos.

Passo 2

Primeiro cálculo da derivada: a derivada de uma função polinomial dá a inclinação da reta tangente em cada ponto. Regra usada: se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}. Aplicando termo a termo em f(x)=x^{5}-5x^{3} temos:
f'(x)=5x^{4}-15x^{2}.
Posso fatorar para simplificar a resolução:
f'(x)=5x^{2}\bigl(x^{2}-3\bigr).
Fazer essa fatoração é útil porque mostra de cara as raízes da derivada.

Passo 3

Encontrar pontos críticos: pontos críticos são as soluções de f'(x)=0 (ou onde f' não existe, mas aqui f' existe sempre). Solve:
5x^{2}\bigl(x^{2}-3\bigr)=0.
Como 5\neq0, isso equivale a x^{2}=0 ou x^{2}=3. Assim as soluções são:
x=0,\qquad x=\sqrt{3},\qquad x=-\sqrt{3}.
Esses são os pontos onde a tangente é horizontal (derivada zero) — candidatos a extremos.

Passo 4

Regra da segunda derivada (explicando a ideia): a segunda derivada f''(x) mede a curvatura da função. Se f''(x_0)>0 então a curva é côncava para cima em x_0 e o ponto crítico é um mínimo local; se f''(x_0)<0 é côncava para baixo e o ponto é um máximo local. Se f''(x_0)=0 a regra é inconclusiva e precisamos de outro método (análise do sinal de f' ou derivadas de ordem mais alta).
Calcule f''(x) derivando f'(x)=5x^{4}-15x^{2}:
f''(x)=20x^{3}-30x.
Também fatorando:
f''(x)=10x\bigl(2x^{2}-3\bigr).

Passo 5

Avaliar f'' nos pontos críticos \pm\sqrt{3}:
Para x=\sqrt{3}:
f''(\sqrt{3})=10\sqrt{3}\bigl(2(\sqrt{3})^{2}-3\bigr)=10\sqrt{3}\bigl(2\cdot3-3\bigr)=10\sqrt{3}\cdot3=30\sqrt{3}>0.
Como f''(\sqrt{3})>0, concluímos que x=\sqrt{3} é um mínimo local.
Para x=-\sqrt{3}:
f''(-\sqrt{3})=10(-\sqrt{3})\bigl(2(\sqrt{3})^{2}-3\bigr)=10(-\sqrt{3})\cdot3=-30\sqrt{3}<0.
Como f''(-\sqrt{3})<0, concluímos que x=-\sqrt{3} é um máximo local.

Passo 6

Tratar o caso x=0 onde f''(0)=0 (regra inconclusiva): calcule f''(0) e, se quiser, a derivada de ordem superior ou analise o sinal de f' perto de zero.
Primeiro, f''(0)=10\cdot0\bigl(2\cdot0^{2}-3\bigr)=0. Então a segunda derivada não decide.
Uma maneira prática é examinar o sinal de f'(x)=5x^{2}(x^{2}-3) para x próximos de 0. Note que para x pequeno e não nulo temos x^{2}>0 mas x^{2}-3<0 (porque x^{2}<3), então o produto 5x^{2}(x^{2}-3) é negativo para x pequeno, tanto à esquerda quanto à direita de zero (o fator x^{2} é sempre positivo, não muda de sinal ao atravessar zero). Assim:
  • Para x<0 e próximo de 0: f'(x)<0.
  • Para x>0 e próximo de 0: f'(x)<0.
Como a derivada não muda de sinal ao passar por x=0 (é negativa dos dois lados), a função não tem nem máximo nem mínimo em x=0. Esse ponto é um ponto de inflexão com tangente horizontal (às vezes chamado de ponto de sela horizontal).
Outra verificação, se quiser, é olhar a terceira derivada:
f^{(3)}(x)=60x^{2}-30,
e f^{(3)}(0)=-30\neq0, o que confirma que há uma inflexão com tangente horizontal em x=0.

Passo 7

Calcular os valores da função nos extremos encontrados, para dar as “alturas”:
Usar fatoração f(x)=x^{3}\bigl(x^{2}-5\bigr) ou calcular diretamente.
Para x=\sqrt{3}:
f(\sqrt{3})=(\sqrt{3})^{5}-5(\sqrt{3})^{3}=(\sqrt{3})^{3}\bigl((\sqrt{3})^{2}-5\bigr)=3\sqrt{3}(3-5)=3\sqrt{3}\cdot(-2)=-6\sqrt{3}.
Para x=-\sqrt{3}:
f(-\sqrt{3})=(-\sqrt{3})^{5}-5(-\sqrt{3})^{3}=(-\sqrt{3})^{3}\bigl((-\sqrt{3})^{2}-5\bigr)=-3\sqrt{3}(3-5)=-3\sqrt{3}\cdot(-2)=6\sqrt{3}.
Portanto o mínimo local vale -6\sqrt{3} em x=\sqrt{3} e o máximo local vale 6\sqrt{3} em x=-\sqrt{3}.

Passo 8

Observação sobre extremos globais: como \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty (polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo) e \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, a função não tem máximo global nem mínimo global. Os extremos encontrados são apenas locais.

Resposta

Máximo local em x=-\sqrt{3} com valor f(-\sqrt{3})=6\sqrt{3}.
Mínimo local em x=\sqrt{3} com valor f(\sqrt{3})=-6\sqrt{3}.
Em x=0 há um ponto de inflexão com tangente horizontal (nem máximo nem mínimo).

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