Determine os máximos e mínimos das funções:
, no intervalo
Passo 1
O enunciado pede: determinar os máximos e mínimos da função
no intervalo
.
Informações dadas:
- Função:
. - Intervalo de estudo:
.
O que precisamos entregar:
- Os pontos onde
atinge máximo(s) e mínimo(s) no intervalo, e os respectivos valores de .
Passo 2
Estratégia (o que vamos fazer):
- Para funções diferenciáveis em um intervalo fechado, candidatos a extremos são os pontos críticos (onde
ou não existe) que estejam dentro do intervalo, e também os extremos do próprio intervalo (os endpoints). - Vamos calcular
, resolver para encontrar pontos críticos, avaliar nesses pontos e nos endpoints, e comparar valores para identificar máximos e mínimos globais. - Vou também usar o teste da segunda derivada para classificar os extremos interiores (explico o teste quando aplicar).
Passo 3
Calcular a derivada
.
Regra usada (cadeia): se
, então
.
Aqui
e
. Portanto:
Passo 4
Encontrar pontos críticos resolvendo
.
Temos:
As soluções de
são
, com
. Assim
Agora restringimos ao intervalo
. Para
ficar em
precisamos de
. Portanto os valores inteiros possíveis são
, gerando:
Observação:
e
são também os endpoints do intervalo;
é o ponto crítico interior.
Passo 5
Classificar os extremos usando a segunda derivada (teste da segunda derivada).
Calcular
. Derivando
e usando novamente a cadeia:
Aplicar em cada ponto crítico:
- Em
:
Como
, pelo teste da segunda derivada
é um ponto de mínimo local.
- Em
:
logo
é ponto de máximo local (pelo teste da segunda derivada).
- Em
:
logo
também é ponto de máximo local.
Observação importante: para determinar máximos e mínimos globais no intervalo fechado, precisamos comparar os valores de
nos pontos candidatos (os três pontos acima).
Passo 6
Avaliar
nos pontos candidatos para comparar valores.
Calcular:
Passo 7
Comparar os valores e concluir quais são máximos e mínimos globais no intervalo.
- Os maiores valores obtidos entre os candidatos são
, ocorrendo em e . Assim o máximo global é nos pontos e . - O menor valor obtido é
, ocorrendo em . Assim o mínimo global é em .
Breve incentivo: deu trabalho, mas a receita é sempre a mesma: derivada para pontos críticos + avaliar endpoints. Segue sendo um ótimo truque pra prova.
Resposta
Máximos:
em
e em
.
Mínimos: em
.
Mínimos: