Determine os máximos e mínimos das funções:
f(x)=\cos (2 x), no intervalo [0, \pi]

Passo 1

O enunciado pede: determinar os máximos e mínimos da função f(x)=\cos(2x) no intervalo [0,\pi].
Informações dadas:
  • Função: f(x)=\cos(2x).
  • Intervalo de estudo: x\in[0,\pi].
O que precisamos entregar:
  • Os pontos onde f atinge máximo(s) e mínimo(s) no intervalo, e os respectivos valores de f.

Passo 2

Estratégia (o que vamos fazer):
  • Para funções diferenciáveis em um intervalo fechado, candidatos a extremos são os pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe) que estejam dentro do intervalo, e também os extremos do próprio intervalo (os endpoints).
  • Vamos calcular f'(x), resolver f'(x)=0 para encontrar pontos críticos, avaliar f nesses pontos e nos endpoints, e comparar valores para identificar máximos e mínimos globais.
  • Vou também usar o teste da segunda derivada para classificar os extremos interiores (explico o teste quando aplicar).

Passo 3

Calcular a derivada f'(x).
Regra usada (cadeia): se g(x)=\cos(u(x)), então g'(x)=-\sin(u(x))\cdot u'(x).
Aqui u(x)=2x e u'(x)=2. Portanto:
f'(x) = -\sin(2x)\cdot 2 = -2\sin(2x).

Passo 4

Encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0.
Temos:
-2\sin(2x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin(2x)=0.
As soluções de \sin(2x)=0 são 2x=k\pi, com k\in\mathbb{Z}. Assim
x = \frac{k\pi}{2}.
Agora restringimos ao intervalo x\in[0,\pi]. Para x=\dfrac{k\pi}{2} ficar em [0,\pi] precisamos de 0\le k\le 2. Portanto os valores inteiros possíveis são k=0,1,2, gerando:
x=0,\quad x=\frac{\pi}{2},\quad x=\pi.
Observação: x=0 e x=\pi são também os endpoints do intervalo; x=\dfrac{\pi}{2} é o ponto crítico interior.

Passo 5

Classificar os extremos usando a segunda derivada (teste da segunda derivada).
Calcular f''(x). Derivando f'(x)=-2\sin(2x) e usando novamente a cadeia:
f''(x) = -2\cdot \cos(2x)\cdot 2 = -4\cos(2x).
Aplicar em cada ponto crítico:
  • Em x=\dfrac{\pi}{2}:
f''\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4\cos\big(2\cdot \tfrac{\pi}{2}\big) = -4\cos(\pi) = -4\cdot(-1)=4>0.
Como f''>0, pelo teste da segunda derivada x=\dfrac{\pi}{2} é um ponto de mínimo local.
  • Em x=0:
f''(0) = -4\cos(0) = -4\cdot 1 = -4<0,
logo x=0 é ponto de máximo local (pelo teste da segunda derivada).
  • Em x=\pi:
f''(\pi) = -4\cos(2\pi) = -4\cdot 1 = -4<0,
logo x=\pi também é ponto de máximo local.
Observação importante: para determinar máximos e mínimos globais no intervalo fechado, precisamos comparar os valores de f nos pontos candidatos (os três pontos acima).

Passo 6

Avaliar f nos pontos candidatos para comparar valores.
Calcular:
f(0)=\cos(2\cdot 0)=\cos(0)=1,
f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\big(2\cdot \tfrac{\pi}{2}\big)=\cos(\pi)=-1,
f(\pi)=\cos(2\pi)=1.

Passo 7

Comparar os valores e concluir quais são máximos e mínimos globais no intervalo.
  • Os maiores valores obtidos entre os candidatos são 1, ocorrendo em x=0 e x=\pi. Assim o máximo global é 1 nos pontos x=0 e x=\pi.
  • O menor valor obtido é -1, ocorrendo em x=\dfrac{\pi}{2}. Assim o mínimo global é -1 em x=\dfrac{\pi}{2}.
Breve incentivo: deu trabalho, mas a receita é sempre a mesma: derivada para pontos críticos + avaliar endpoints. Segue sendo um ótimo truque pra prova.

Resposta

Máximos: f(x)=1 em x=0 e em x=\pi.
Mínimos: f(x)=-1 em x=\dfrac{\pi}{2}.

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