Determine a media total da emissividade hemisférica e a potencia emissiva de uma superfície que tenha uma emissividade hemisférica espectral de 0,8 com comprimentos de onda menores que
em comprimentos de onda de 1,5 a
, e 0,4 em comprimentos de onda maiores que
. A temperatura da superfície é de
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Pedem: (1) a média total da emissividade hemisférica da superfície (vou chamar de
); (2) a potência emissiva total da superfície (energia emitida por unidade de área), , à temperatura dada. - Dados:
- Emissividade espectral (hemisférica) por faixas de comprimento de onda:
-
para . -
para . -
para .
-
- Temperatura:
.
- Emissividade espectral (hemisférica) por faixas de comprimento de onda:
- Observação: a média hemisférica a ser calculada é ponderada pela distribuição espectral da energia do corpo negro (função de Planck) à temperatura
. Portanto precisamos usar a fração da energia do corpo negro emitida em cada uma dessas faixas de comprimento de onda.
Passo 2
Conceitos importantes e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma prática):
- Potência emissiva total (de superfície com emissividade média):
onde
é a constante de Stefan–Boltzmann,
. Aqui
é a emissividade hemisférica média (total), número adimensional entre 0 e 1.
- Definição de média hemisférica espectral (forma integral):
onde
é a emissividade espectral do corpo negro por unidade de comprimento de onda (potência por unidade área por unidade comprimento de onda). O denominador é a potência total do corpo negro e vale
.
- Expressão prática usando frações de emissão do corpo negro: se
é a fração da potência total do corpo negro emitida entre e (ou até ), então, para faixas discretas,
onde
é a fração da potência do corpo negro nascida na faixa
. Assim precisamos calcular as frações:
- Como calcular as frações do corpo negro: usando a variável adimensional
com
(usando
em
).
A fração da potência emitida para comprimentos de onda menores ou iguais a (isto é, até
) pode ser escrita, após manipulação matemática do integral de Planck, como
A fração da potência emitida para comprimentos de onda menores ou iguais a
onde
. Esta fórmula é prática porque os termos com
decaem rápido quando
não é pequeno, permitindo truncar a soma em poucos termos. Vou usar essa expressão para calcular as frações necessárias.
Passo 3
Determinar os valores adimensionais
nas bordas das faixas (vou usar
em
):
- Constante
. - Para
:
- Para
:
Esses
serão usados na soma com exponenciais.
Passo 4
Cálculo numérico da fração até
(faixa 1):
- Usar
. A soma é dominada por ; termos com são muito pequenos. - Calcular potência de
:
- Para
o termo interior é
- Exponencial
. - Produto do termo
: . - Termos
(por exemplo ) dão contribuição da ordem de ou menores, portanto desprezáveis para nossa precisão prática. - Soma aproximada
. - Fração acumulada até
:
Portanto aproximadamente
(ou
da emissão total do corpo negro está abaixo de
a
).
Passo 5
Cálculo numérico da fração até
(faixas 1+2):
- Usar
. - Calcular potências:
. - Calcular termos da soma (mantendo
porque para contribuições seguintes já são bem pequenas): -
: -
. - termo
:
-
-
: , , termo -
: termo (negligível).
-
- Soma aproximada
- Fração acumulada até
:
Portanto aproximadamente
(ou
da emissão total do corpo negro está abaixo de
).
- Assim as frações por faixa são:
Passo 6
Cálculo da média hemisférica
usando as emissividades das faixas:
- Lembrando:
- Aplicando
:
- Calcule termo a termo:
-
- Somando:
Portanto a emissividade hemisférica média é aproximadamente
.
Passo 7
Cálculo da potência emissiva total
:
- Primeiro calcule
com :
- Agora multiplica-se pela emissividade média:
Arredondando com precisão prática:
Passo 8
Resumo final (reassurance e dica rápida de prova):
- O passo-chave foi transformar a pergunta em uma média ponderada pela distribuição de Planck; os valores de fração
podem ser obtidos por tabela de frações do corpo negro (ou pela soma de termos exponenciais que usei). Em prova, se não houver tabela, justificar a aproximação por truncamento dos termos exponenciais é aceitável quando é moderadamente grande. - Força: mantenha a ordem de grandeza (aqui
) como cheque rápido.