Determine a media total da emissividade hemisférica e a potencia emissiva de uma superfície que tenha uma emissividade hemisférica espectral de 0,8 com comprimentos de onda menores que 1,5 \mu m, 0,6 em comprimentos de onda de 1,5 a 2,5 \mu m, e 0,4 em comprimentos de onda maiores que 2,5 \mu \mathrm{~m}. A temperatura da superfície é de 1200 K .(\mathbf{2 , 5})

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pedem: (1) a média total da emissividade hemisférica da superfície (vou chamar de \overline{\varepsilon}); (2) a potência emissiva total da superfície (energia emitida por unidade de área), E, à temperatura dada.
  • Dados:
    • Emissividade espectral (hemisférica) por faixas de comprimento de onda:
      • \varepsilon(\lambda)=0,8 para \lambda<1{,}5\\ \mu\mathrm{m}.
      • \varepsilon(\lambda)=0,6 para 1{,}5\le\lambda\le2{,}5\\ \mu\mathrm{m}.
      • \varepsilon(\lambda)=0,4 para \lambda>2{,}5\\ \mu\mathrm{m}.
    • Temperatura: T=1200\\ \mathrm{K}.
  • Observação: a média hemisférica a ser calculada é ponderada pela distribuição espectral da energia do corpo negro (função de Planck) à temperatura T. Portanto precisamos usar a fração da energia do corpo negro emitida em cada uma dessas faixas de comprimento de onda.

Passo 2

Conceitos importantes e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma prática):
  • Potência emissiva total (de superfície com emissividade média):
E=\overline{\varepsilon}\,\sigma T^{4},
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, \sigma=5{,}670374\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}. Aqui \overline{\varepsilon} é a emissividade hemisférica média (total), número adimensional entre 0 e 1.
  • Definição de média hemisférica espectral (forma integral):
\overline{\varepsilon}=\frac{\displaystyle\int_{0}^{\infty}\varepsilon(\lambda)\,M_{\lambda,b}(T)\,d\lambda}{\displaystyle\int_{0}^{\infty}M_{\lambda,b}(T)\,d\lambda}
onde M_{\lambda,b}(T) é a emissividade espectral do corpo negro por unidade de comprimento de onda (potência por unidade área por unidade comprimento de onda). O denominador é a potência total do corpo negro e vale \sigma T^{4}.
  • Expressão prática usando frações de emissão do corpo negro: se f(\lambda_1,\lambda_2;T) é a fração da potência total do corpo negro emitida entre \lambda_1 e \lambda_2 (ou até \lambda), então, para faixas discretas,
\overline{\varepsilon}=\sum_{i}\varepsilon_i\,F_i,
onde F_i é a fração da potência do corpo negro nascida na faixa i. Assim precisamos calcular as frações:
F_1 = f(0,1{,}5\\ \mu\mathrm{m};T),\quad F_2 = f(1{,}5,2{,}5\\ \mu\mathrm{m};T),\quad F_3 = 1 - f(0,2{,}5\\ \mu\mathrm{m};T).
  • Como calcular as frações do corpo negro: usando a variável adimensional
x=\frac{c_2}{\lambda T},
com c_2=\dfrac{h c}{k}=1{,}4387769\times10^{4}\\ \mu\mathrm{m\cdot K} (usando \lambda em \mu\mathrm{m}).
A fração da potência emitida para comprimentos de onda menores ou iguais a \lambda (isto é, até \lambda) pode ser escrita, após manipulação matemática do integral de Planck, como
f(0,\lambda;T)=\frac{15}{\pi^{4}}\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n x}\left(\frac{x^{3}}{n}+\frac{3x^{2}}{n^{2}}+\frac{6x}{n^{3}}+\frac{6}{n^{4}}\right),
onde x=c_2/(\lambda T). Esta fórmula é prática porque os termos com e^{-n x} decaem rápido quando x não é pequeno, permitindo truncar a soma em poucos termos. Vou usar essa expressão para calcular as frações necessárias.

Passo 3

Determinar os valores adimensionais x nas bordas das faixas (vou usar \lambda em \mu\mathrm{m}):
  • Constante c_2=1{,}4387769\times10^{4}\\ \mu\mathrm{m\cdot K}.
  • Para \lambda=1{,}5\\ \mu\mathrm{m}:
x_{1}=\frac{c_{2}}{\lambda T}=\frac{1{,}4387769\times10^{4}}{1{,}5\times1200}=\frac{1{,}4387\ldots\times10^{4}}{1800}\approx 7{,}9932.
  • Para \lambda=2{,}5\\ \mu\mathrm{m}:
x_{2}=\frac{c_{2}}{\lambda T}=\frac{1{,}4387769\times10^{4}}{2{,}5\times1200}=\frac{1{,}4387\ldots\times10^{4}}{3000}\approx 4{,}7959.
Esses x serão usados na soma com exponenciais.

Passo 4

Cálculo numérico da fração até \lambda=1{,}5\\ \mu\mathrm{m} (faixa 1):
  • Usar x_{1}=7{,}9932. A soma é dominada por n=1; termos com n\ge2 são muito pequenos.
  • Calcular potência de x_1:
x_1^{2}\approx 63{,}892,\qquad x_1^{3}\approx 510{,}70.
  • Para n=1 o termo interior é
B_{1}=x_1^{3}+3x_1^{2}+6x_1+6 \approx 510{,}70+191{,}676+47{,}959+6\approx 756{,}335.
  • Exponencial e^{-x_1}\approx e^{-7{,}9932}\approx 0{,}000337.
  • Produto do termo n=1: e^{-x_1}B_{1}\approx 0{,}000337\times756{,}335\approx 0{,}255035.
  • Termos n\ge2 (por exemplo n=2) dão contribuição da ordem de 3{,}5\times10^{-5} ou menores, portanto desprezáveis para nossa precisão prática.
  • Soma aproximada S'\approx 0{,}255035.
  • Fração acumulada até 1{,}5\\ \mu\mathrm{m}:
F_1=f(0,1{,}5;T)=\frac{15}{\pi^{4}}S'\approx 0{,}154026\times0{,}255035\approx 0{,}0393.
Portanto aproximadamente F_1\approx0{,}0393 (ou 3{,}93\% da emissão total do corpo negro está abaixo de 1{,}5\\ \mu\mathrm{m} a 1200\\ \mathrm{K}).

Passo 5

Cálculo numérico da fração até \lambda=2{,}5\\ \mu\mathrm{m} (faixas 1+2):
  • Usar x_{2}=4{,}7959.
  • Calcular potências: x_2^{2}\approx23{,}0007,\quad x_2^{3}\approx110{,}309.
  • Calcular termos da soma (mantendo n=1,2,3 porque para x_2 contribuições seguintes já são bem pequenas):
    • n=1: B_{1}=x_2^{3}+3x_2^{2}+6x_2+6\approx110{,}309+69{,}002+28{,}775+6\approx214{,}087.
      • e^{-x_2}\approx e^{-4{,}7959}\approx0{,}00827.
      • termo n=1: 0{,}00827\times214{,}087\approx1{,}7705.
    • n=2: B_{2}\approx76{,}377, e^{-2x_2}\approx6{,}83\times10^{-5}, termo \approx0{,}00522.
    • n=3: termo \approx2{,}6\times10^{-5} (negligível).
  • Soma aproximada S'\approx1{,}7705+0{,}00522+0{,}000026\approx1{,}77574.
  • Fração acumulada até 2{,}5\\ \mu\mathrm{m}:
F_{0\to2{,}5}=f(0,2{,}5;T)=\frac{15}{\pi^{4}}S'\approx0{,}154026\times1{,}77574\approx0{,}2735.
Portanto aproximadamente F_{0\to2{,}5}\approx0{,}2735 (ou 27{,}35\% da emissão total do corpo negro está abaixo de 2{,}5\\ \mu\mathrm{m}).
  • Assim as frações por faixa são:
F_1 \approx 0{,}0393\quad(\lambda<1{,}5\\ \mu\mathrm{m}),
F_2 \approx F_{0\to2{,}5}-F_1 \approx 0{,}2735-0{,}0393 = 0{,}2342\quad(1{,}5\text{ a }2{,}5\\ \mu\mathrm{m}),
F_3 \approx 1 - F_{0\to2{,}5} \approx 0{,}7265\quad(\lambda>2{,}5\\ \mu\mathrm{m}).

Passo 6

Cálculo da média hemisférica \overline{\varepsilon} usando as emissividades das faixas:
  • Lembrando: \varepsilon_1=0{,}8,\\ \varepsilon_2=0{,}6,\\ \varepsilon_3=0{,}4.
  • Aplicando \overline{\varepsilon}=\sum \varepsilon_i F_i:
\overline{\varepsilon}=0{,}8\times0{,}0393 + 0{,}6\times0{,}2342 + 0{,}4\times0{,}7265.
  • Calcule termo a termo:
    • 0{,}8\times0{,}0393\approx0{,}03144.
    • 0{,}6\times0{,}2342\approx0{,}14052.
    • 0{,}4\times0{,}7265\approx0{,}29060.
  • Somando:
\overline{\varepsilon}\approx0{,}03144+0{,}14052+0{,}29060=0{,}46256\approx0{,}463.
Portanto a emissividade hemisférica média é aproximadamente \overline{\varepsilon}=0{,}463.

Passo 7

Cálculo da potência emissiva total E:
  • Primeiro calcule \sigma T^{4} com T=1200\\ \mathrm{K}:
T^{4}=1200^{4}=(1{,}44\times10^{6})^{2}=2{,}0736\times10^{12},
\sigma T^{4}=5{,}670374\times10^{-8}\times2{,}0736\times10^{12}\approx1{,}1766\times10^{5}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Agora multiplica-se pela emissividade média:
E=\overline{\varepsilon}\,\sigma T^{4}\approx0{,}46256\times1{,}1766\times10^{5}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}\approx5{,}4425\times10^{4}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
Arredondando com precisão prática:
E\approx5{,}44\times10^{4}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 8

Resumo final (reassurance e dica rápida de prova):
  • O passo-chave foi transformar a pergunta em uma média ponderada pela distribuição de Planck; os valores de fração F_i podem ser obtidos por tabela de frações do corpo negro (ou pela soma de termos exponenciais que usei). Em prova, se não houver tabela, justificar a aproximação por truncamento dos termos exponenciais é aceitável quando x é moderadamente grande.
  • Força: mantenha a ordem de grandeza (aqui \sim10^{4}\\ \mathrm{W/m^{2}}) como cheque rápido.

Resposta

\overline{\varepsilon}\approx0,463
E\approx5,44\times10^{4}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}

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