Uma lamina de turbina de 6,3 \mathrm{~cm} de comprimento com a área de seção transversal A=4,6 \times 10^{-4} m^{2} e perímetro P=0,12 m, é fabricada de aço inoxidável ( k= 16 \mathrm{~W} / m \mathrm{~K} ). A tempratura da raiz T_{b} é 482^{\circ} \mathrm{C}. A lamina é exposta a um gás quente a 871^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de tranferência de calor é 454 \mathrm{~W} / \mathrm{mk}. Determine a temperatura da ponta da lamina e o fluxo de calor na raiz da lamina. Considere que a ponta é isolada. (2,5)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes valores do enunciado).
Dados:
comprimento da lâmina: L=0,063\\ \mathrm{m}.
área da seção transversal: A=4{,}6\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
perímetro da seção: P=0{,}12\\ \mathrm{m}.
condutividade térmica do aço inox: k=16\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
temperatura na raiz (base): T_{b}=482\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
temperatura do gás (fluido) ao redor: T_{\infty}=871\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
condição na ponta: ponta isolada (isto é, \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=L}=0).
O enunciado pede:
determinar a temperatura da ponta da lâmina T(L);
determinar o fluxo de calor na raiz da lâmina (taxa de calor conduzida na base), q_{b}.
Passo 2
Escolha do modelo e equação diferencial (explicação didática):
Em regime estacionário e assumindo variação de temperatura apenas ao longo do comprimento da lâmina (aproximação unidimensional), a energia conduzida dentro da lâmina é perdida por convecção ao redor da superfície lateral.
Denotando T(x) a temperatura ao longo da lâmina (com x=0 na base e x=L na ponta) e T_{\infty} a temperatura do fluido, define-se a função desvio \theta(x)=T(x)-T_{\infty}. Isso centraliza o problema em relação ao fluido.
O balanço de energia elementar (condutividade axial k, área A, perda por convecção ao longo do perímetro P com coeficiente h) leva à equação diferencial conhecida para a aleta de seção constante:
\frac{d^{2}\theta}{dx^{2}}-m^{2}\theta=0,
onde se define
m^{2}=\frac{hP}{kA}.
Expliquei: m tem dimensão de (m^{-1}) e quantifica a relação entre perda convectiva lateral e capacidade de condução axial.
Passo 3
Solução geral da equação e aplicação das condições de contorno (aula rápida de solução):
A solução geral da equação homogênea \dfrac{d^{2}\theta}{dx^{2}}-m^{2}\theta=0 é
Interpretação do sinal: o resultado negativo significa que o calor, no sentido positivo tomado (condução da base em direção à ponta), é negativo — ou seja, o calor flui do fluido quente para a lâmina e é conduzido até a raiz. Em termos práticos: a raiz recebe cerca de 246{,}3\\ \mathrm{W} (fluxo direcionado para a raiz).
Passo 8
Resumo final rápido e incentivo:
Temperatura da ponta ficou muito próxima da temperatura do fluido porque mL é grande (a lâmina é relativamente “delgada” em relação à perda convectiva), por isso a ponta praticamente alcança a temperatura do gás. Dá para ver na fórmula: \operatorname{cosh}(mL) grande reduz a diferença entre ponta e fluido.
Boa! Você agora tem a forma geral para lâminas com ponta isolada e como aplicar as fórmulas numéricas passo a passo: calcular m, avaliar \operatorname{cosh}(mL) e \operatorname{tanh}(mL), depois aplicar as fórmulas para T(L) e q_{b}. Força que dá para decorar o procedimento e repetir na prova.