Uma lamina de turbina de 6,3 \mathrm{~cm} de comprimento com a área de seção transversal A=4,6 \times 10^{-4} m^{2} e perímetro P=0,12 m, é fabricada de aço inoxidável ( k= 16 \mathrm{~W} / m \mathrm{~K} ). A tempratura da raiz T_{b} é 482^{\circ} \mathrm{C}. A lamina é exposta a um gás quente a 871^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de tranferência de calor é 454 \mathrm{~W} / \mathrm{mk}. Determine a temperatura da ponta da lamina e o fluxo de calor na raiz da lamina. Considere que a ponta é isolada. (2,5)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes valores do enunciado).
Dados:
  • comprimento da lâmina: L=0,063\\ \mathrm{m}.
  • área da seção transversal: A=4{,}6\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • perímetro da seção: P=0{,}12\\ \mathrm{m}.
  • condutividade térmica do aço inox: k=16\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
  • temperatura na raiz (base): T_{b}=482\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
  • temperatura do gás (fluido) ao redor: T_{\infty}=871\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
  • coeficiente convectivo: h=454\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
  • condição na ponta: ponta isolada (isto é, \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=L}=0).
O enunciado pede:
  1. determinar a temperatura da ponta da lâmina T(L);
  2. determinar o fluxo de calor na raiz da lâmina (taxa de calor conduzida na base), q_{b}.

Passo 2

Escolha do modelo e equação diferencial (explicação didática):
  • Em regime estacionário e assumindo variação de temperatura apenas ao longo do comprimento da lâmina (aproximação unidimensional), a energia conduzida dentro da lâmina é perdida por convecção ao redor da superfície lateral.
  • Denotando T(x) a temperatura ao longo da lâmina (com x=0 na base e x=L na ponta) e T_{\infty} a temperatura do fluido, define-se a função desvio \theta(x)=T(x)-T_{\infty}. Isso centraliza o problema em relação ao fluido.
  • O balanço de energia elementar (condutividade axial k, área A, perda por convecção ao longo do perímetro P com coeficiente h) leva à equação diferencial conhecida para a aleta de seção constante:
\frac{d^{2}\theta}{dx^{2}}-m^{2}\theta=0,
onde se define
m^{2}=\frac{hP}{kA}.
Expliquei: m tem dimensão de (m^{-1}) e quantifica a relação entre perda convectiva lateral e capacidade de condução axial.

Passo 3

Solução geral da equação e aplicação das condições de contorno (aula rápida de solução):
  • A solução geral da equação homogênea \dfrac{d^{2}\theta}{dx^{2}}-m^{2}\theta=0 é
\theta(x)=C_{1}\operatorname{cosh}(mx)+C_{2}\operatorname{sinh}(mx),
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições de contorno.
  • Condições de contorno do problema:
    • na base: T(0)=T_{b}\Rightarrow \theta(0)=\theta_{b}=T_{b}-T_{\infty};
    • na ponta isolada: \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=L}=0\Rightarrow \left.\dfrac{d\theta}{dx}\right|_{x=L}=0.
  • Aplicando \theta(0)=C_{1}= \theta_{b}. Derivando,
\frac{d\theta}{dx}=m\bigl(-C_{1}\operatorname{sinh}(mx)+C_{2}\operatorname{cosh}(mx)\bigr).
Impondo \left.\dfrac{d\theta}{dx}\right|_{x=L}=0 obtemos
-m\,\theta_{b}\operatorname{sinh}(mL)+m\,C_{2}\operatorname{cosh}(mL)=0 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=\theta_{b}\operatorname{tanh}(mL).
  • Assim a solução pode ser reescrita em forma mais conveniente (usada frequentemente):
\theta(x)=\theta_{b}\,\frac{\operatorname{cosh}\bigl(m(L-x)\bigr)}{\operatorname{cosh}(mL)}.
Verificação rápida: em x=0 \theta(0)=\theta_{b} e em x=L a derivada é zero (ponta isolada).

Passo 4

Fórmula para a temperatura da ponta (deduzida da solução):
  • A temperatura na ponta x=L é
T(L)=T_{\infty}+\theta(L)=T_{\infty}+\theta_{b}\frac{\operatorname{cosh}(0)}{\operatorname{cosh}(mL)} = T_{\infty}+\frac{T_{b}-T_{\infty}}{\operatorname{cosh}(mL)}.
Essa é a fórmula que vamos avaliar numericamente. Antes, calculamos m.

Passo 5

Cálculo numérico de m (passo a passo):
  • Primeiro calcule hP:
hP = 454\cdot0{,}12 = 54{,}48\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
  • Depois calcule kA:
kA = 16\cdot 4{,}6\times10^{-4} = 16\cdot 0{,}00046 = 0{,}00736\\ \mathrm{W\,K^{-1}}.
  • Agora
m^{2}=\frac{hP}{kA}=\frac{54{,}48}{0{,}00736}=7406{,}521739\ldots
m=\sqrt{7406{,}521739\ldots}\approx 86{,}061\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Produto mL:
mL\approx 86{,}061\cdot 0{,}063 \approx 5{,}4218.

Passo 6

Cálculo da temperatura da ponta (numérico, detalhado):
  • Primeiro calcule \operatorname{cosh}(mL). Usando a definição \operatorname{cosh} x=(e^{x}+e^{-x})/2 e o valor numérico de mL:
\operatorname{cosh}(5{,}4218)\approx 113{,}140\\ \text{(valor aproximado calculado por expansão/exponenciação)}.ãçã
  • Agora calcule \theta_{b}=T_{b}-T_{\infty}=482-871=-389\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
  • Portanto a queda relativa na ponta:
\theta(L)=\frac{\theta_{b}}{\operatorname{cosh}(mL)}=\frac{-389}{113{,}140}\approx -3{,}439\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
  • Assim a temperatura da ponta é
T(L)=T_{\infty}+\theta(L)\approx 871 + (-3{,}439)\approx 867{,}56\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 7

Fórmula e cálculo do fluxo de calor na raiz (passo a passo e interpretação):
  • A taxa de calor conduzida na base (fluxo total na raiz) é dada por
q_{b}=-kA\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}.
  • Usando a forma da solução e derivando, obtém-se a expressão clássica para este caso:
q_{b}=kA\,m\,\theta_{b}\,\operatorname{tanh}(mL).
Explicação rápida: \operatorname{tanh}(mL) aparece por causa da condição de ponta isolada e relaciona a derivada em x=0 com o desvio \theta_{b}.
  • Vamos calcular numericamente:
    • já temos kA=0{,}00736\\ \mathrm{W\,K^{-1}}, m\approx86{,}061\\ \mathrm{m^{-1}} e \theta_{b}=-389\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
    • produto kA\cdot m:
    kA\cdot m \approx 0{,}00736\cdot86{,}061 \approx 0{,}63326\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}\cdot m^{-1}} = 0{,}63326\\ \mathrm{W\,K^{-1}}.
    • mL\approx5{,}4218 implica \operatorname{tanh}(mL)\approx 0{,}999961 (muito próximo de 1 para este mL grande).
    • portanto
    q_{b}\approx 0{,}63326\cdot(-389)\cdot 0{,}999961 \approx -246{,}33\\ \mathrm{W}.
  • Interpretação do sinal: o resultado negativo significa que o calor, no sentido positivo tomado (condução da base em direção à ponta), é negativo — ou seja, o calor flui do fluido quente para a lâmina e é conduzido até a raiz. Em termos práticos: a raiz recebe cerca de 246{,}3\\ \mathrm{W} (fluxo direcionado para a raiz).

Passo 8

Resumo final rápido e incentivo:
  • Temperatura da ponta ficou muito próxima da temperatura do fluido porque mL é grande (a lâmina é relativamente “delgada” em relação à perda convectiva), por isso a ponta praticamente alcança a temperatura do gás. Dá para ver na fórmula: \operatorname{cosh}(mL) grande reduz a diferença entre ponta e fluido.
  • Boa! Você agora tem a forma geral para lâminas com ponta isolada e como aplicar as fórmulas numéricas passo a passo: calcular m, avaliar \operatorname{cosh}(mL) e \operatorname{tanh}(mL), depois aplicar as fórmulas para T(L) e q_{b}. Força que dá para decorar o procedimento e repetir na prova.

Resposta

T(L)\approx 867{,}56\\ ^{\circ}\mathrm{C}
q_{b}\approx -246{,}33\\ \mathrm{W}

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