) No lançamento simultâneo de dois dados, considere as seguintes variáveis aleatórias:
número de pontos obtidos no primeiro dado.
número de pontos obtidos no segundo dado.
Construir a distribuiçāo a distribuição de probabilidade através de uma tabela das seguintes variáveis:
Construir a distribuiçāo a distribuição de probabilidade através de uma tabela das seguintes variáveis:
Passo 1
O enunciado dá que dois dados justos são lançados simultaneamente. Definimos as variáveis:
-
= número de pontos no primeiro dado. -
= número de pontos no segundo dado. -
.
Informações relevantes fornecidas:
- Cada um dos dados produz valores em
. - Os pares ordenados
são todos igualmente prováveis, totalizando resultados possíveis. - A tarefa é construir a distribuição de probabilidade de
(ou seja, listar os valores possíveis de e suas probabilidades) numa tabela.
Passo 2
Primeiro identifiquemos os valores possíveis de
. O menor valor ocorre quando
é mínimo e
é máximo:
O maior valor ocorre quando
é máximo e
é mínimo:
Logo
.
Passo 3
Agora vamos contar, para um dado valor fixo
, quantos pares ordenados
satisfazem
com
.
Resolver dá
. Para que
seja válido precisamos de
Resolver
A segunda desigualdade equivale a
Assim
deve pertencer à interseção dos intervalos
e
. O número de inteiros
nessa interseção é
Escrevendo isso em forma contável:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão anterior e obter uma fórmula prática. Considerando
, a interseção sempre tem comprimento positivo e a expressão acima simplifica para
Explicação rápida por caso:
- Se
, a condição em é , então há valores. - Se
, a condição é , então há valores.
Isto mostra também a simetria natural.
Exemplos concretos para fixar a ideia:
- Para
: pares → pares. - Para
: pares → pares. - Para
: pares → pares.
Passo 5
Como todos os
resultados
são igualmente prováveis, a probabilidade de cada
é o número de pares que geram
dividido por
. Assim, para
,
Para qualquer
tem-se
.
Verificação de normalização (checando que soma dá
):
portanto
, como esperado.
Passo 6
Dica prática para prova: decorre que
tem uma distribuição em forma de “triângulo” discreto simétrico em torno de
. Os numeradores
formam a sequência
correspondente a
. Se precisar calcular
ou algo assim, basta somar os termos apropriados da sequência e dividir por
.