1^{\circ} ) No lançamento simultâneo de dois dados, considere as seguintes variáveis aleatórias:
X= número de pontos obtidos no primeiro dado.
Y= número de pontos obtidos no segundo dado.
Construir a distribuiçāo a distribuição de probabilidade através de uma tabela das seguintes variáveis:
W=X-Y

Passo 1

O enunciado dá que dois dados justos são lançados simultaneamente. Definimos as variáveis:
  • X = número de pontos no primeiro dado.
  • Y = número de pontos no segundo dado.
  • W=X-Y.
Informações relevantes fornecidas:
  • Cada um dos dados produz valores em \{1,2,3,4,5,6\}.
  • Os pares ordenados (X,Y) são todos igualmente prováveis, totalizando 36 resultados possíveis.
  • A tarefa é construir a distribuição de probabilidade de W (ou seja, listar os valores possíveis de W e suas probabilidades) numa tabela.

Passo 2

Primeiro identifiquemos os valores possíveis de W. O menor valor ocorre quando X é mínimo e Y é máximo:
\min W = 1-6 = -5.
O maior valor ocorre quando X é máximo e Y é mínimo:
\max W = 6-1 = 5.
Logo \,W\in\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}.

Passo 3

Agora vamos contar, para um dado valor fixo w, quantos pares ordenados (x,y) satisfazem x-y=w com x,y\in\{1,\dots,6\}.
Resolver x-y=w y=x-w. Para que (x,y) seja válido precisamos de
1\le x\le6\quad\text{e}\quad 1\le x-w\le6.
A segunda desigualdade equivale a
1+w \le x \le 6+w.
Assim x deve pertencer à interseção dos intervalos [1,6] e [1+w,6+w]. O número de inteiros x nessa interseção é
\#\{(x,y):x-y=w\}=\#\{x:\max(1,1+w)\le x\le\min(6,6+w)\}.
Escrevendo isso em forma contável:
\#\{(x,y):x-y=w\}=\min(6,6+w)-\max(1,1+w)+1.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão anterior e obter uma fórmula prática. Considerando -5\le w\le5, a interseção sempre tem comprimento positivo e a expressão acima simplifica para
\#\{(x,y):x-y=w\}=6-|w|.
Explicação rápida por caso:
  • Se w\ge0, a condição em x é 1+w\le x\le6, então há 6-(1+w)+1=6-w valores.
  • Se w\le0, a condição é 1\le x\le6+w, então há (6+w)-1+1=6-(-w)=6-|w| valores.
    Isto mostra também a simetria natural \#\{(x,y):x-y=w\}=\#\{(x,y):x-y=-w\}.
Exemplos concretos para fixar a ideia:
  • Para w=0: pares (1,1),(2,2),\dots,(6,6) 6 pares.
  • Para w=1: pares (2,1),(3,2),\dots,(6,5) 5 pares.
  • Para w=-2: pares (1,3),(2,4),(3,5),(4,6) 4 pares.

Passo 5

Como todos os 36 resultados (x,y) são igualmente prováveis, a probabilidade de cada w é o número de pares que geram w dividido por 36. Assim, para -5\le w\le5,
P(W=w)=\frac{6-|w|}{36}.
Para qualquer w\notin\{-5,\dots,5\} tem-se P(W=w)=0.
Verificação de normalização (checando que soma dá 1):
\sum_{w=-5}^{5} (6-|w|)=6+2(5+4+3+2+1)=6+2\cdot15=36,
portanto \sum_{w=-5}^{5} \dfrac{6-|w|}{36}=1, como esperado.

Passo 6

Dica prática para prova: decorre que W tem uma distribuição em forma de “triângulo” discreto simétrico em torno de 0. Os numeradores (6-|w|) formam a sequência 1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1 correspondente a w=-5,\dots,5. Se precisar calcular P(W\ge k) ou algo assim, basta somar os termos apropriados da sequência e dividir por 36.

Resposta

P(W=-5)=\dfrac{1}{36}
P(W=-4)=\dfrac{2}{36}
P(W=-3)=\dfrac{3}{36}
P(W=-2)=\dfrac{4}{36}
P(W=-1)=\dfrac{5}{36}
P(W=0)=\dfrac{6}{36}
P(W=1)=\dfrac{5}{36}
P(W=2)=\dfrac{4}{36}
P(W=3)=\dfrac{3}{36}
P(W=4)=\dfrac{2}{36}
P(W=5)=\dfrac{1}{36}

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