1^{\circ} ) No lançamento simultâneo de dois dados, considere as seguintes variáveis aleatórias:
X= número de pontos obtidos no primeiro dado.
Y= número de pontos obtidos no segundo dado.
Construir a distribuiçāo a distribuição de probabilidade através de uma tabela das seguintes variáveis:
A=2 Y

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa bem específica.
  • Dados do enunciado:
    • Dois dados são lançados simultaneamente.
    • X = número de pontos obtidos no primeiro dado.
    • Y = número de pontos obtidos no segundo dado.
    • Vamos assumir que os dados são justos (cada face igualmente provável) — isto é o entendimento padrão quando não se diz o contrário.
  • O que o enunciado pergunta:
    • Construir, em forma de tabela, a distribuição de probabilidade da variável aleatória A = 2Y.

Passo 2

Entender o espaço amostral e as probabilidades básicas.
  • Cada lançamento dá um par ordenado (X,Y) com X\in\{1,2,3,4,5,6\} e Y\in\{1,2,3,4,5,6\}.
  • O espaço amostral é S = \{(i,j)\mid i=1,\dots,6;\\ j=1,\dots,6\},logo |S|=36.
  • Como os dados são justos e independentes, cada par (i,j) tem probabilidade P\big((X,Y)=(i,j)\big)=\frac{1}{36}.

Passo 3

Definir a variável A e listar seus possíveis valores.
  • Por definição, A = 2Y.
  • Os possíveis valores de Y são \{1,2,3,4,5,6\}.
  • Portanto os possíveis valores de A são \{2,4,6,8,10,12\},pois para cada y obtemos a=2y.

Passo 4

Como calcular P(A=a): ideia e fórmula.
  • Em palavras: a probabilidade de A tomar um valor a é a soma das probabilidades de todos os resultados (x,y) que geram esse a.
  • Em fórmula: P(A=a)=\sum_{\substack{(x,y)\in S\\\ 2y=a}} P\big((X,Y)=(x,y)\big).
  • Para um dado valor a que corresponda a y (ou seja, a=2y com y\in\{1,\dots,6\}), os pares (x,y) que geram esse a são todos os x\in\{1,\dots,6\} com esse mesmo y. Há exatamente 6 desses pares.

Passo 5

Calcular explicitamente P(A=a).
  • Para a=2y com y\in\{1,\dots,6\}, P(A=2y)=\sum_{x=1}^{6} P\big((X,Y)=(x,y)\big) =\sum_{x=1}^{6}\frac{1}{36} =6\cdot\frac{1}{36} =\frac{6}{36} =\frac{1}{6}.
  • Ou seja, cada valor possível de A ocorre com probabilidade \tfrac{1}{6}. Isso faz sentido intuitivo porque A depende só de Y e Y é igualmente provável em cada valor de 1 a 6.

Passo 6

Verificação rápida (somatório das probabilidades).
  • Somando as probabilidades de todos os valores de A: \sum_{a\in\{2,4,6,8,10,12\}} P(A=a)=6\cdot\frac{1}{6}=1,então a distribuição está normalizada corretamente.

Passo 7

Apresentação da tabela final (forma amigável para a prova).
  • A tabela tem duas colunas: valor de A e P(A=\text{valor}). Cada probabilidade é \tfrac{1}{6}.

Resposta

A=2:\\ P(A=2)=\tfrac{1}{6}
A=4:\\ P(A=4)=\tfrac{1}{6}
A=6:\\ P(A=6)=\tfrac{1}{6}
A=8:\\ P(A=8)=\tfrac{1}{6}
A=10:\\ P(A=10)=\tfrac{1}{6}
A=12:\\ P(A=12)=\tfrac{1}{6}

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