Determine a medida da altura de um cone cuja geratriz mede 10 cm , sendo 12 cm o diâmetro de sua base.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a medida da altura do cone, dado que a geratriz mede \,10\\ \text{cm}\, e o diâmetro da base é \,12\\ \text{cm}\,.
Informações relevantes fornecidas:
  • geratriz: \,l=10\\ \text{cm}\,;
  • diâmetro da base: \,d=12\\ \text{cm}\,;
  • o que se deseja encontrar: a altura do cone, que vamos chamar de \,h.

Passo 2

Entender a geometria envolvida (sem calcular ainda): ao cortar o cone por um plano que passa pelo eixo (um corte axial), obtemos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a geratriz \,l, um cateto é o raio da base \,r e o outro cateto é a altura \,h.
A relação que liga esses três comprimentos é o Teorema de Pitágoras aplicado a esse triângulo retângulo. O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Aplicando aqui:
l^{2}=r^{2}+h^{2}.
Explicando as variáveis:
  • \,l é a geratriz (hipotenusa) — já sabemos que \,l=10\\ \text{cm}\,;
  • \,r é o raio da base (um cateto);
  • \,h é a altura do cone (o outro cateto), que é o que queremos achar.

Passo 3

Calcular o raio \,r a partir do diâmetro dado. A relação entre diâmetro e raio é
r=\frac{d}{2}.
Substituindo \,d=12\\ \text{cm}\,,
r=\frac{12}{2}=6\\ \text{cm}.

Passo 4

Substituir os valores conhecidos na equação do Teorema de Pitágoras \,l^{2}=r^{2}+h^{2}\,. Usando \,l=10\\ \text{cm}\, e \,r=6\\ \text{cm}\,:
10^{2}=6^{2}+h^{2}.
Efetuando os quadrados:
100=36+h^{2}.

Passo 5

Isolar \,h^{2} e calcular \,h. Subtraindo 36 de ambos os lados:
h^{2}=100-36=64.
Agora extraímos a raiz quadrada. Como altura é comprimento positivo, tomamos a raiz positiva:
h=\sqrt{64}=8\\ \text{cm}.

Passo 6

Verificação rápida e dica para a prova: confira que \,6^{2}+8^{2}=36+64=100=10^{2}, então a conta fecha. Dica prática para questões parecidas: desenhe o corte axial para visualizar o triângulo retângulo, identifique hipotenusa e catetos, aplique Pitágoras e lembre-se de converter diâmetro em raio antes de aplicar a fórmula. Força — você consegue!

Resposta

h=8\\ \text{cm}

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