Calcular a integral de superfície
, sendo
e
a parte do paraboloide
que está acima do quadrado
e
, com orientação ascendente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde:
-
. -
é a parte do paraboloide que está acima do quadrado . - A orientação de
é ascendente (vetor normal com componente positiva).
As quantidades que temos explicitamente são
e a equação do paraboloide; a região de projeção no plano
é o quadrado
.
Passo 2
Escolhendo o método: para uma superfície dada como gráfico
é mais simples usar a fórmula direta que transforma a integral de superfície numa integral dupla sobre a região de projeção
no plano
. Essa é a forma mais direta aqui (mais simples que parametrizar com
e calcular produto vetorial), e é suficiente para fazer tudo à mão na prova sem calculadora.
Vou usar a fórmula padrão para superfícies do tipo
com orientação ascendente:
Aqui:
-
e são as derivadas parciais de em relação a e . -
é um vetor proporcional ao vetor normal apontando para cima (orientação ascendente). -
é o elemento de área no plano .
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
. Primeiro calculemos as derivadas parciais:
Passo 4
Avaliar
sobre a superfície (substituir
):
Passo 5
Formar o produto escalar
.
Substituindo e
temos
e
. Portanto
Substituindo
Calculemos termo a termo:
portanto os dois primeiros termos se cancelam e sobra
Observação bonita: o integrando simplifica para exatamente o valor de
na superfície,
.
Passo 6
Assim a integral de superfície vira a integral dupla sobre o quadrado
:
Aqui
.
Passo 7
Calcule a integral iterada. Primeiro a integral em
:
Simplificando:
Passo 8
Agora integramos em
:
Passo 9
Concluímos que a integral de superfície vale
. (Boa notícia: integrando passo a passo sem atalhos complicados chega-se direto ao resultado.)