Calcular a integral de superfície \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathrm{~d} \mathbf{S}, sendo \mathbf{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\mathrm{y} \mathbf{i}-\mathrm{xj}+\mathrm{z} \mathbf{k} e S a parte do paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} que está acima do quadrado 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq 1, com orientação ascendente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície \iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} onde:
  • \mathbf{F}(x,y,z)=y\,\mathbf{i}-x\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}.
  • S é a parte do paraboloide \;z=4-x^{2}-y^{2}\; que está acima do quadrado \;0\le x\le1,\;0\le y\le1.
  • A orientação de S é ascendente (vetor normal com componente z positiva).
As quantidades que temos explicitamente são \mathbf{F} e a equação do paraboloide; a região de projeção no plano xy é o quadrado D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}.

Passo 2

Escolhendo o método: para uma superfície dada como gráfico z=g(x,y) é mais simples usar a fórmula direta que transforma a integral de superfície numa integral dupla sobre a região de projeção D no plano xy. Essa é a forma mais direta aqui (mais simples que parametrizar com \mathbf{r}(x,y) e calcular produto vetorial), e é suficiente para fazer tudo à mão na prova sem calculadora.
Vou usar a fórmula padrão para superfícies do tipo \;z=g(x,y)\; com orientação ascendente:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} =\iint_{D}\mathbf{F}\big(x,y,g(x,y)\big)\cdot\big(-g_x(x,y),\,-g_y(x,y),\,1\big)\,\mathrm{d}A.
Aqui:
  • g_x e g_y são as derivadas parciais de g em relação a x e y.
  • \big(-g_x,-g_y,1\big) é um vetor proporcional ao vetor normal apontando para cima (orientação ascendente).
  • \mathrm{d}A é o elemento de área no plano xy.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: g(x,y)=4-x^{2}-y^{2}. Primeiro calculemos as derivadas parciais:
g_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(4-x^{2}-y^{2}\big)=-2x, \qquad g_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(4-x^{2}-y^{2}\big)=-2y.

Passo 4

Avaliar \mathbf{F} sobre a superfície (substituir z=g(x,y)):
\mathbf{F}\big(x,y,g(x,y)\big)=\big(y,\,-x,\;g(x,y)\big) =\big(y,\,-x,\;4-x^{2}-y^{2}\big).

Passo 5

Formar o produto escalar \mathbf{F}\big(x,y,g(x,y)\big)\cdot\big(-g_x,-g_y,1\big).
Substituindo g_x=-2x e g_y=-2y temos -g_x=2x e -g_y=2y. Portanto
\mathbf{F}\cdot\big(-g_x,-g_y,1\big) = y\cdot(2x) + (-x)\cdot(2y) + (4-x^{2}-y^{2})\cdot 1.
Calculemos termo a termo:
y\cdot(2x)=2xy,\qquad (-x)\cdot(2y)=-2xy,
portanto os dois primeiros termos se cancelam e sobra
\mathbf{F}\cdot\big(-g_x,-g_y,1\big)=4-x^{2}-y^{2}.
Observação bonita: o integrando simplifica para exatamente o valor de z na superfície, z=4-x^{2}-y^{2}.

Passo 6

Assim a integral de superfície vira a integral dupla sobre o quadrado D:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} =\iint_{D}\big(4-x^{2}-y^{2}\big)\,\mathrm{d}A =\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1}\big(4-x^{2}-y^{2}\big)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.
Aqui D=\{(x,y):0\le x\le1,\;0\le y\le1\}.

Passo 7

Calcule a integral iterada. Primeiro a integral em x:
\int_{0}^{1}\big(4-x^{2}-y^{2}\big)\,\mathrm{d}x =\Big[4x-\frac{x^{3}}{3}-y^{2}x\Big]_{x=0}^{x=1} =4-\frac{1}{3}-y^{2}.
Simplificando:
4-\frac{1}{3}-y^{2}=\frac{12}{3}-\frac{1}{3}-y^{2}=\frac{11}{3}-y^{2}.

Passo 8

Agora integramos em y:
\int_{0}^{1}\left(\frac{11}{3}-y^{2}\right)\mathrm{d}y =\left[\frac{11}{3}y-\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{11}{3}-\frac{1}{3}=\frac{10}{3}.

Passo 9

Concluímos que a integral de superfície vale \dfrac{10}{3}. (Boa notícia: integrando passo a passo sem atalhos complicados chega-se direto ao resultado.)

Resposta

\dfrac{10}{3}

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