Quantos lados possui um polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a
?
Passo 1
O enunciado pede: determinar quantos lados tem um polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a
.
Informações dadas: a soma dos ângulos internos é .
O que precisamos encontrar: o número de lados do polígono, que chamaremos de .
Informações dadas: a soma dos ângulos internos é
O que precisamos encontrar: o número de lados do polígono, que chamaremos de
Passo 2
Agora vou te ensinar a fórmula que relaciona a soma dos ângulos internos de um polígono ao número de lados. A ideia é bem intuitiva: qualquer polígono convexo de
lados pode ser dividido em triângulos traçando diagonais a partir de um vértice. Cada triângulo tem soma dos ângulos igual a
. Se você começar em um vértice e traçar diagonais para os outros vértices, vai formar exatamente
triângulos. Portanto a soma dos ângulos internos do polígono é a soma das somas dos ângulos desses
triângulos, ou seja:
Aqui
é a soma dos ângulos internos (em graus) e
é o número de lados. Esse é o raciocínio usado frequentemente em provas — decorando a fórmula ou entendendo-a pela triangulação.
Passo 3
Aplicamos a fórmula ao nosso caso: sabemos que
, então
Podemos dividir ambos os lados por
para simplificar a equação.
Passo 4
Dividindo por
obtemos:
Agora calculamos a divisão. Vou desenvolver a conta para ficar bem claro:
cabe em
um certo número de vezes. Podemos observar que
e
; somando
. Logo:
Portanto
Passo 5
Isolando
somamos
aos dois lados:
Fazendo uma checagem rápida com casos simples: para um triângulo
a fórmula dá
(ok); para um quadrilátero
dá
(ok). Nosso resultado segue a mesma lógica.
Resposta
20