Quantos lados possui um polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a 3240^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado pede: determinar quantos lados tem um polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a 3240^\circ.
Informações dadas: a soma dos ângulos internos é S=3240^\circ.
O que precisamos encontrar: o número de lados do polígono, que chamaremos de n.

Passo 2

Agora vou te ensinar a fórmula que relaciona a soma dos ângulos internos de um polígono ao número de lados. A ideia é bem intuitiva: qualquer polígono convexo de n lados pode ser dividido em triângulos traçando diagonais a partir de um vértice. Cada triângulo tem soma dos ângulos igual a 180^\circ. Se você começar em um vértice e traçar diagonais para os outros vértices, vai formar exatamente n-2 triângulos. Portanto a soma dos ângulos internos do polígono é a soma das somas dos ângulos desses n-2 triângulos, ou seja:
S = (n-2)\cdot 180^\circ.
Aqui S é a soma dos ângulos internos (em graus) e n é o número de lados. Esse é o raciocínio usado frequentemente em provas — decorando a fórmula ou entendendo-a pela triangulação.

Passo 3

Aplicamos a fórmula ao nosso caso: sabemos que S=3240^\circ, então
3240^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ.
Podemos dividir ambos os lados por 180^\circ para simplificar a equação.

Passo 4

Dividindo por 180^\circ obtemos:
\frac{3240^\circ}{180^\circ} = n-2.
Agora calculamos a divisão. Vou desenvolver a conta para ficar bem claro: 180 cabe em 3240 um certo número de vezes. Podemos observar que 180\cdot 10 = 1800 e 180\cdot 8 = 1440; somando 1800+1440=3240. Logo:
\frac{3240}{180}=18.
Portanto
18 = n-2.

Passo 5

Isolando n somamos 2 aos dois lados:
n = 18 + 2 = 20.
Fazendo uma checagem rápida com casos simples: para um triângulo n=3 a fórmula dá (3-2)\cdot180^\circ=180^\circ (ok); para um quadrilátero n=4 (4-2)\cdot180^\circ=360^\circ (ok). Nosso resultado segue a mesma lógica.

Resposta

20

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