Determine a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio ao marcar:
c) 3 h 45 min

Passo 1

O enunciado pede a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio quando ele marca \,3\\ \text{h}\\\ 45\\ \text{min}.
Informações dadas:
  • Hora: \,h=3.
  • Minutos: \,m=45.
  • Pedido: o menor ângulo (em graus) entre o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos.

Passo 2

Vamos entender como transformar hora e minutos em ângulos medidos a partir do topo (posição das 12 horas). Aqui estão as ideias e fórmulas que vamos usar, explicadas passo a passo.
  • O ponteiro dos minutos completa uma volta de 360^\circ em 60 minutos. Portanto sua velocidade angular é
\text{velocidade do minuto} = \frac{360^\circ}{60\\ \text{min}} = 6^\circ/\text{min}.
Sejam m os minutos, o ângulo do ponteiro dos minutos medido a partir das 12 é
\theta_m = 6\,m.
Explicação das variáveis: \theta_m é o ângulo do ponteiro dos minutos em graus; m é o número de minutos.
  • O ponteiro das horas completa 360^\circ em 12 horas, ou seja 360^\circ em 12\cdot60 = 720 minutos. Sua velocidade angular é
\text{velocidade da hora} = \frac{360^\circ}{720\\ \text{min}} = 0,5^\circ/\text{min}.
Também é comum escrever o ângulo da hora como contribuição das horas mais a contribuição dos minutos:
\theta_h = 30\,h + 0,5\,m,
onde \theta_h é o ângulo do ponteiro das horas em graus e h é a hora (no formato de 12 horas).
  • O ângulo entre os ponteiros é a diferença em módulo:
\Delta = |\theta_m - \theta_h|.
Como podemos medir o ângulo em dois sentidos (o menor entre os dois arcos complementares), o menor ângulo buscado é
\text{menor ângulo} = \min\!\big(\Delta,\\\ 360^\circ-\Delta\big).â
Se \Delta \le 180^\circ, o menor ângulo é \Delta; se \Delta>180^\circ, o menor é 360^\circ-\Delta.

Passo 3

Aplicando as fórmulas com h=3 e m=45: primeiro o ponteiro dos minutos:
\theta_m = 6 \times 45 = 270^\circ.

Passo 4

Agora o ponteiro das horas:
\theta_h = 30 \times 3 + 0,5 \times 45 = 90 + 22,5 = 112,5^\circ.

Passo 5

Calcule a diferença em módulo:
\Delta = |\theta_m - \theta_h| = |270 - 112,5| = 157,5^\circ.

Passo 6

Verifique qual é o menor ângulo: como \Delta = 157,5^\circ \le 180^\circ, o menor ângulo entre os ponteiros é \Delta. Podemos também expressar em graus e minutos: 157,5^\circ = 157^\circ 30' porque 0,5^\circ = 30'.

Resposta

157,5^\circ
157^\circ 30'

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