Determine a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio ao marcar:
c) 3 h 45 min
c) 3 h 45 min
Passo 1
O enunciado pede a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio quando ele marca
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Hora:
. - Minutos:
. - Pedido: o menor ângulo (em graus) entre o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos.
Passo 2
Vamos entender como transformar hora e minutos em ângulos medidos a partir do topo (posição das 12 horas). Aqui estão as ideias e fórmulas que vamos usar, explicadas passo a passo.
- O ponteiro dos minutos completa uma volta de
em minutos. Portanto sua velocidade angular é
Sejam
os minutos, o ângulo do ponteiro dos minutos medido a partir das 12 é
Explicação das variáveis:
é o ângulo do ponteiro dos minutos em graus;
é o número de minutos.
- O ponteiro das horas completa
em horas, ou seja em minutos. Sua velocidade angular é
Também é comum escrever o ângulo da hora como contribuição das horas mais a contribuição dos minutos:
onde
é o ângulo do ponteiro das horas em graus e
é a hora (no formato de 12 horas).
- O ângulo entre os ponteiros é a diferença em módulo:
Como podemos medir o ângulo em dois sentidos (o menor entre os dois arcos complementares), o menor ângulo buscado é
Se
, o menor ângulo é
; se
, o menor é
.
Passo 3
Aplicando as fórmulas com
e
: primeiro o ponteiro dos minutos:
Passo 4
Agora o ponteiro das horas:
Passo 5
Calcule a diferença em módulo:
Passo 6
Verifique qual é o menor ângulo: como
, o menor ângulo entre os ponteiros é
. Podemos também expressar em graus e minutos:
porque
.