Determine a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio ao marcar:
d) 5 h 40 min

Passo 1

O enunciado pede: determinar a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio quando ele marca \;5\\ \text{h}\\\ 40\\ \text{min}.
Informações dadas e pressupostos claros:
  • Hora: \;h=5.
  • Minutos: \;m=40.
  • Relógio analógico padrão de 12 horas (círculo de 360^\circ).
  • Queremos o menor ângulo entre os dois ponteiros (ou seja, o ângulo agudo ou menor entre as duas posições).

Passo 2

Entender como calcular a posição angular de cada ponteiro (aulas rápidas e intuitivas).
  • Ponteiro dos minutos: o ponteiro dos minutos completa um círculo ( 360^\circ) em 60 minutos. Então ele anda
\frac{360^\circ}{60} = 6^\circ
por minuto. Assim a fórmula para a posição angular do ponteiro dos minutos, medida a partir das 12 horas no sentido horário, é
\theta_m = 6\cdot m,
onde \theta_m é em graus e m é o número de minutos.
  • Ponteiro das horas: o ponteiro das horas completa 360^\circ em 12 horas, ou seja 30^\circ por hora. Além disso ele não fica parado durante a hora: à medida que os minutos avançam, o ponteiro das horas também se desloca. Esse deslocamento extra é
\frac{30^\circ}{60} = 0{,}5^\circ
por minuto. Assim a fórmula para a posição angular do ponteiro das horas, medida a partir das 12 horas no sentido horário, é
\theta_h = 30\cdot (h \bmod 12) + 0{,}5\cdot m,
onde h \bmod 12 garante que usemos o valor de horas no intervalo 0 a 11.
Explicação breve do porquê pegar o menor ângulo: a diferença angular entre dois ângulos no círculo pode ser maior que 180^\circ, mas o ângulo entre os ponteiros é o menor dos dois arcos formados, por isso tomamos
\alpha = \min\bigl(\Delta,\;360^\circ-\Delta\bigr),
com \Delta = |\theta_m-\theta_h|.

Passo 3

Aplicar as fórmulas ao caso \;h=5, \;m=40.
Calcular a posição do ponteiro dos minutos:
\theta_m = 6\cdot m = 6\cdot 40 = 240^\circ.

Passo 4

Calcular a posição do ponteiro das horas:
\theta_h = 30\cdot 5 + 0{,}5\cdot 40 = 150 + 20 = 170^\circ.

Passo 5

Calcular a diferença angular absoluta entre os dois ponteiros:
\Delta = |\theta_m-\theta_h| = |240^\circ-170^\circ| = 70^\circ.

Passo 6

Determinar o menor ângulo entre os ponteiros tomando o menor arco do círculo:
\alpha = \min\bigl(\Delta,\;360^\circ-\Delta\bigr) = \min(70^\circ,\;290^\circ) = 70^\circ.
Dica rápida para prova: sempre calcule \theta_m = 6m e \theta_h = 30h+0{,}5m, depois faça |\theta_m-\theta_h| e, se for maior que 180^\circ, subtraia de 360^\circ. Funciona rápido na cabeça.

Resposta

70^\circ

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