Determine a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio ao marcar:
e) 9 h 35 min

Passo 1

O enunciado dá o horário 9 h 35 min e pede a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros do relógio nessa indicação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Hora: 9 horas.
  • Minuto: 35 minutos.
  • Objetivo: achar o menor ângulo entre o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos (em graus).

Passo 2

Entender como cada ponteiro se posiciona em graus a partir do topo ( 12 horas). Regras básicas que vou usar (explicadas de forma didática):
  • O relógio tem 360^\circ distribuídos em 60 marcas de minutos, então o ponteiro dos minutos avança \dfrac{360^\circ}{60}=6^\circ por minuto. Isso significa que, depois de m minutos, o ponteiro dos minutos está a 6m^\circ do 12.
  • O ponteiro das horas dá uma volta completa em 12 horas, portanto cada hora corresponde a \dfrac{360^\circ}{12}=30^\circ. Além disso, o ponteiro das horas não fica “fixo” na marca da hora: ele avança continuamente com os minutos. Em termos por minuto, o ponteiro das horas avança \dfrac{30^\circ}{60}=0{,}5^\circ por minuto.
Essas duas observações são essenciais: minuto → 6^\circ/minuto; hora → 30^\circ/hora =0{,}5^\circ/minuto.

Passo 3

Calcular a posição do ponteiro dos minutos a partir de 12. Usando a regra 6^\circ por minuto, para 35 minutos:
\text{ângulo do minuto} = 6\cdot 35 = 210^\circ.â
Ou seja, o ponteiro dos minutos está a 210^\circ medidos no sentido horário a partir do 12.

Passo 4

Calcular a posição do ponteiro das horas a partir de 12. Primeiro, a parte fixa das horas: 9 horas correspondem a 9\cdot 30^\circ = 270^\circ. Depois, acrescenta-se o avanço devido aos 35 minutos, que é 0{,}5^\circ por minuto:
\text{ângulo da hora} = 9\cdot 30 + 0{,}5\cdot 35 = 270 + 17{,}5 = 287{,}5^\circ.â

Passo 5

Calcular a diferença angular absoluta entre os dois ponteiros:
\Delta = \bigl|287{,}5^\circ - 210^\circ\bigr| = 77{,}5^\circ.
Esse é o ângulo no sentido horário/anti-horário direto entre eles. O menor ângulo entre dois ponteiros em um relógio é o menor entre \Delta e 360^\circ-\Delta. Calculando:
360^\circ - \Delta = 360^\circ - 77{,}5^\circ = 282{,}5^\circ.
O menor entre 77{,}5^\circ e 282{,}5^\circ é 77{,}5^\circ. Logo o menor ângulo é 77{,}5^\circ.

Passo 6

Converter 77{,}5^\circ para graus e minutos de arco (formato mais clássico): 0{,}5^\circ equivale a 0{,}5\times 60 = 30 minutos de arco. Portanto
77{,}5^\circ = 77^\circ 30'.

Resposta

77{,}5^\circ = 77^\circ 30'

Exercícios relacionados