Determine se o método de separação de variáveis pode ser usado:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial t}+\frac{\partial u}{\partial t}=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se para determinar se o método de separação de variáveis pode ser usado para a equação
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial t}+\frac{\partial u}{\partial t}=0.
  • Informação disponível: a equação diferencial parcial (PDE) com derivada mista \partial^{2}u/(\partial x\partial t). Não há condições de contorno/condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Ideia do método de separação de variáveis (explicação didática)
  • A separação clássica tenta soluções do tipo
u(x,t)=X(x)\,T(t),
onde X depende só de x e T depende só de t.
  • A vantagem é que, ao substituir essa forma na PDE e dividir por X T, espera-se obter uma igualdade onde um lado depende só de x e o outro só de t; então ambos devem ser iguais a uma constante (a chamada constante de separação).
  • Vou aplicar isso passo a passo aqui — mesmo com a derivada mista, às vezes a separação ainda funciona, ou funciona com pequenas hipóteses.

Passo 3

Calcular as derivadas necessárias com u(x,t)=X(x)T(t)
  • Segunda derivada em x:
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=X''(x)\,T(t).
  • Derivada mista:
\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial t}=X'(x)\,T'(t).
  • Derivada em t:
\frac{\partial u}{\partial t}=X(x)\,T'(t).

Passo 4

Substituir na PDE e simplificar
  • Substituindo as expressões anteriores na PDE obtém-se
X''(x)\,T(t)+X'(x)\,T'(t)+X(x)\,T'(t)=0.
  • Agrupando termos:
X''(x)\,T(t)+\bigl(X'(x)+X(x)\bigr)T'(t)=0.

Passo 5

Dividir por X(x)T(t) e tentar separar as variáveis
  • Dividindo por X T (assumindo X e T não nulos) obtemos
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{T'(t)}{T(t)}\cdot\frac{X'(x)+X(x)}{X(x)}=0.
  • Reescrevendo:
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{T'(t)}{T(t)}\Bigl(\frac{X'(x)}{X(x)}+1\Bigr)=0.
  • Isolando \dfrac{T'(t)}{T(t)}
\frac{T'(t)}{T(t)}=-\frac{X''(x)/X(x)}{\bigl(X'(x)/X(x)\bigr)+1}=-\frac{X''(x)}{X'(x)+X(x)}.

Passo 6

Condição para que a separação funcione e introdução da constante de separação
  • A expressão \dfrac{T'}{T}=-\dfrac{X''}{X'+X} mostra que o lado esquerdo depende apenas de t e o direito apenas de x. Para que isso seja possível (para funções não-triviais), ambos lados devem ser iguais a uma constante. Chamemos essa constante de \lambda.
  • Portanto, sob a hipótese
X'(x)+X(x)\neq 0\quad\text{para as }x\text{ de interesse},
podemos separar e obter as duas equações ordinárias
\frac{T'(t)}{T(t)}=\lambda
e
-\frac{X''(x)}{X'(x)+X(x)}=\lambda.

Passo 7

Escrever as EDOs separadas em forma padrão e resolver parcialmente (ensino sobre o passo)
  • A equação para T é simples e elementar: multiplicando,
T'(t)=\lambda\,T(t).
A solução geral é
T(t)=C\,e^{\lambda t},
onde C é constante.
  • A equação para X pode ser reescrita em forma linear de segunda ordem. Multiplicando a definição por -(X'+X) e reorganizando, obtém-se
X''(x)+\lambda\,X'(x)+\lambda\,X(x)=0.
  • Essa é uma EDO linear de coeficientes constantes. Para resolvê-la aplica-se o método padrão: considerar a equação característica
r^{2}+\lambda r+\lambda=0,
e obter as raízes
r=\frac{-\lambda\pm\sqrt{\lambda^{2}-4\lambda}}{2}.
  • Dependendo do discriminante \lambda^{2}-4\lambda tem-se raízes reais distintas, reais iguais ou complexas conjugadas, e constrói-se a solução de X conforme os casos. Assim, a separação produz uma família completa de soluções separáveis u(x,t)=X(x)T(t).

Passo 8

Analisar o caso especial X'(x)+X(x)=0
  • Se existir x tal que X'(x)+X(x)=0 para todos os x (i.e. X satisfaz a EDO primeira X'+X=0), então
X(x)=A\,e^{-x}.
  • Substituindo X dessa forma na PDE original com u=X T dá, usando X''=X e X'=-X,
X''T+X'T'+XT' = X T +(-X)T' + X T' = X T.
  • A PDE impõe X T=0 e, com X não nulo, isso força T\equiv 0. Logo, esse caso dá apenas a solução trivial u\equiv 0.
  • Conclusão: o caso X'+X=0 não fornece soluções não-triviais separáveis.

Passo 9

Interpretação final e resposta didática
  • Portanto o método de separação de variáveis pode ser aplicado à PDE se aceitarmos a hipótese usual de solução separável u(x,t)=X(x)T(t) e se tivermos X'(x)+X(x)\neq0 (caso contrário obtemos apenas a solução trivial).
  • A separação conduz à constante de separação \lambda e às EDOs
T'(t)=\lambda\,T(t)
e
X''(x)+\lambda\,X'(x)+\lambda\,X(x)=0,
cuja solução fornece as soluções separáveis da PDE.

Resposta

Sim. Admitindo u(x,t)=X(x)T(t) e X'(x)+X(x)\neq0 obtém-se as EDOs
T'(t)=\lambda\,T(t)
e
X''(x)+\lambda\,X'(x)+\lambda\,X(x)=0,
com \lambda constante de separação. O caso X'(x)+X(x)=0 leva apenas à solução trivial u\equiv0.