Determine se o método de separação de variáveis pode ser usado:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se para determinar se o método de separação de variáveis pode ser usado para a equação
- Informação disponível: a equação diferencial parcial (PDE) com derivada mista
. Não há condições de contorno/condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Ideia do método de separação de variáveis (explicação didática)
- A separação clássica tenta soluções do tipo
onde
depende só de
e
depende só de
.
- A vantagem é que, ao substituir essa forma na PDE e dividir por
, espera-se obter uma igualdade onde um lado depende só de e o outro só de ; então ambos devem ser iguais a uma constante (a chamada constante de separação). - Vou aplicar isso passo a passo aqui — mesmo com a derivada mista, às vezes a separação ainda funciona, ou funciona com pequenas hipóteses.
Passo 3
Calcular as derivadas necessárias com
- Segunda derivada em
:
- Derivada mista:
- Derivada em
:
Passo 4
Substituir na PDE e simplificar
- Substituindo as expressões anteriores na PDE obtém-se
- Agrupando termos:
Passo 5
Dividir por
e tentar separar as variáveis
- Dividindo por
(assumindo e não nulos) obtemos
- Reescrevendo:
- Isolando
dá
Passo 6
Condição para que a separação funcione e introdução da constante de separação
- A expressão
mostra que o lado esquerdo depende apenas de e o direito apenas de . Para que isso seja possível (para funções não-triviais), ambos lados devem ser iguais a uma constante. Chamemos essa constante de . - Portanto, sob a hipótese
podemos separar e obter as duas equações ordinárias
e
Passo 7
Escrever as EDOs separadas em forma padrão e resolver parcialmente (ensino sobre o passo)
- A equação para
é simples e elementar: multiplicando,
A solução geral é
onde
é constante.
- A equação para
pode ser reescrita em forma linear de segunda ordem. Multiplicando a definição por e reorganizando, obtém-se
- Essa é uma EDO linear de coeficientes constantes. Para resolvê-la aplica-se o método padrão: considerar a equação característica
e obter as raízes
- Dependendo do discriminante
tem-se raízes reais distintas, reais iguais ou complexas conjugadas, e constrói-se a solução de conforme os casos. Assim, a separação produz uma família completa de soluções separáveis .
Passo 8
Analisar o caso especial
- Se existir
tal que para todos os (i.e. satisfaz a EDO primeira ), então
- Substituindo
dessa forma na PDE original com dá, usando e ,
- A PDE impõe
e, com não nulo, isso força . Logo, esse caso dá apenas a solução trivial . - Conclusão: o caso
não fornece soluções não-triviais separáveis.
Passo 9
Interpretação final e resposta didática
- Portanto o método de separação de variáveis pode ser aplicado à PDE se aceitarmos a hipótese usual de solução separável
e se tivermos (caso contrário obtemos apenas a solução trivial). - A separação conduz à constante de separação
e às EDOs
e
cuja solução fornece as soluções separáveis da PDE.
Resposta
Sim. Admitindo
e
obtém-se as EDOs
e
com
constante de separação. O caso
leva apenas à solução trivial
.