Determine r de modo que y(x)=e^{r x} seja solução da equação diferencial dada:
y^{\prime \prime \prime}+16 y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de r tais que a função y(x)=e^{r x} seja solução da equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}+16y^{\prime}=0.
Informações dadas e objetivo claro:
  • A função teste é y(x)=e^{r x}, com r possivelmente complexo.
  • A equação diferencial é linear, com coeficientes constantes, de terceira ordem.
  • A tarefa: encontrar todos os valores de r que tornam y(x)=e^{r x} solução da equação dada.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de y(x)=e^{r x}. Regra usada: derivada de e^{r x} em relação a x dá um fator r multiplicando por causa da regra da cadeia. Explicitando:
y(x)=e^{r x},
y^{\prime}(x)=r e^{r x},
y^{\prime\prime}(x)=r^{2} e^{r x},
y^{\prime\prime\prime}(x)=r^{3} e^{r x}.
Cada derivada multiplica a exponencial por mais um fator r.

Passo 3

Substituímos essas derivadas na equação diferencial. A equação é
y^{\prime\prime\prime}+16y^{\prime}=0,
então, substituindo,
r^{3} e^{r x} + 16\bigl(r e^{r x}\bigr)=0.

Passo 4

Fatoramos a expressão comum e^{r x} (que nunca é zero para qualquer x):
e^{r x}\bigl(r^{3}+16r\bigr)=0.
Como e^{r x}\neq 0 para todo x, podemos dividir ambos os lados por e^{r x} e ficar com a equação algébrica para r:
r^{3}+16r=0.

Passo 5

Resolvemos a equação algébrica r^{3}+16r=0. Fatorando r:
r\bigl(r^{2}+16\bigr)=0.
Agora temos dois casos a resolver:
  • r=0.
  • r^{2}+16=0, que dá r^{2}=-16. Tomando raiz quadrada, obtemos r=\pm 4i, onde i é a unidade imaginária ( i^{2}=-1).

Passo 6

Interpretação didática e consequência prática:
  • As soluções exponenciais correspondentes são e^{0\cdot x}=1 (constante) e e^{\pm 4i x}.
  • Para obter soluções reais a partir das raízes complexas conjugadas 4i e -4i, usamos a identidade de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. Assim as soluções reais geradas por essas raízes são \cos 4x e \sin 4x.
  • Portanto a família geral de soluções reais da equação (para referência, caso queira usar na prova) é
y(x)=C_{1}+C_{2}\cos(4x)+C_{3}\sin(4x),
com C_{1},C_{2},C_{3} constantes arbitrárias.

Resposta

r=0
r=4i
r=-4i

Exercícios relacionados