Determine
de modo que
seja solução da equação diferencial dada:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores de
tais que a função
seja solução da equação diferencial
Informações dadas e objetivo claro:
- A função teste é
, com possivelmente complexo. - A equação diferencial é linear, com coeficientes constantes, de terceira ordem.
- A tarefa: encontrar todos os valores de
que tornam solução da equação dada.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de
. Regra usada: derivada de
em relação a
dá um fator
multiplicando por causa da regra da cadeia. Explicitando:
Cada derivada multiplica a exponencial por mais um fator
.
Passo 3
Substituímos essas derivadas na equação diferencial. A equação é
então, substituindo,
Passo 4
Fatoramos a expressão comum
(que nunca é zero para qualquer
):
Como
para todo
, podemos dividir ambos os lados por
e ficar com a equação algébrica para
:
Passo 5
Resolvemos a equação algébrica
. Fatorando
:
Agora temos dois casos a resolver:
-
. -
, que dá . Tomando raiz quadrada, obtemos , onde é a unidade imaginária ( ).
Passo 6
Interpretação didática e consequência prática:
- As soluções exponenciais correspondentes são
(constante) e . - Para obter soluções reais a partir das raízes complexas conjugadas
e , usamos a identidade de Euler . Assim as soluções reais geradas por essas raízes são e . - Portanto a família geral de soluções reais da equação (para referência, caso queira usar na prova) é
com
constantes arbitrárias.