Determine o módulo do campo elétrico em r=1,5 a

Passo 1

O que o enunciado e a figura nos dão (peguei estas informações da imagem enviada):
  • Há uma distribuição esférica de carga positiva, uniforme, ocupando a região entre dois raios concêntricos: raio interno a e raio externo b.
  • O interior ( r<a) parece ser vazio de carga (cavidade).
  • A carga total contida na casca esférica (entre a e b) vou chamar de Q (não foi dada numericamente; a resposta ficará em função de Q).
    O que é pedido:
  • Determinar o módulo do campo elétrico no ponto cuja distância ao centro é r=1{,}5\,a (isto é, r=\tfrac{3}{2}a).
    Observação: como 1{,}5\,a satisfaz a<r<b, o ponto está dentro da região carregada (dentro da casca, mas fora da cavidade).

Passo 2

Conceito e razão física que vamos usar — Lei de Gauss (explicação didática):
  • A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida por \varepsilon_0:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
  • Em problemas esfericamente simétricos (como este), o campo elétrico em uma superfície esférica concêntrica é radial e tem mesma magnitude em todos os pontos dessa esfera. Então o integrando é E constante sobre a superfície e a integral vira E vezes a área da esfera:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
  • Portanto, para uma esfera de raio r concentricamente colocada no sistema:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0},
ou seja
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\text{int}}(r)}{r^{2}}.
Explicando as variáveis:
  • E(r) é o módulo do campo elétrico na distância r do centro.
  • Q_{\text{int}}(r) é a carga total contida numa esfera de raio r (ou seja, a carga dentro da superfície gaussiana de raio r).
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo.

Passo 3

Como calcular Q_{\text{int}}(r) quando a<r<b (passo a passo, sem pular etapas):
  • A carga está distribuída uniformemente no volume entre r=a e r=b. Então existe uma densidade volumétrica de carga \rho constante tal que a carga total Q está dada por
Q=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr).
  • Daí a densidade \rho é
\rho=\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)}.
  • Para uma superfície gaussiana de raio r com a<r<b, a carga contida até r é a carga do volume entre a e r:
Q_{\text{int}}(r)=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi\bigl(r^{3}-a^{3}\bigr).
  • Substituindo \rho em função de Q:
Q_{\text{int}}(r)=\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)}\cdot \frac{4}{3}\pi\bigl(r^{3}-a^{3}\bigr) =Q\cdot\frac{r^{3}-a^{3}}{\,b^{3}-a^{3}\,}.
Esse é o resultado intuitivo: a fração da carga total contida dentro do raio r é a fração dos volumes \dfrac{r^{3}-a^{3}}{b^{3}-a^{3}}.

Passo 4

Aplicando Gauss para obter E(r) para a<r<b:
  • Usando a fórmula do Passo 2,
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\text{int}}(r)}{r^{2}}.
  • Substituindo Q_{\text{int}}(r) do Passo 3:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^{2}}\cdot\frac{r^{3}-a^{3}}{\,b^{3}-a^{3}\,}.
  • Esta é a expressão geral (em função de r) do módulo do campo no interior do material carregado (entre a e b). Podemos também escrever em termos da densidade \rho (às vezes é mais direto):
E(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,\frac{r^{3}-a^{3}}{r^{2}} =\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\Bigl(r-\frac{a^{3}}{r^{2}}\Bigr).
Ambas as formas são equivalentes, basta usar \rho=\dfrac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi(b^{3}-a^{3})} se quiser trocar entre elas.

Passo 5

Agora avaliaremos em r=1{,}5\,a=\dfrac{3}{2}a e faremos as contas passo a passo:
  • Primeiro calcule r^{3}-a^{3} para r=\tfrac{3}{2}a:
r^{3}-a^{3}=\Bigl(\frac{3}{2}a\Bigr)^{3}-a^{3}=\frac{27}{8}a^{3}-a^{3}=\frac{19}{8}a^{3}.
  • Calcule r^{2}:
r^{2}=\Bigl(\frac{3}{2}a\Bigr)^{2}=\frac{9}{4}a^{2}.
  • Substituindo na expressão de E(r) em termos de Q:
E\Bigl(r=\frac{3}{2}a\Bigr) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^{2}}\cdot\frac{r^{3}-a^{3}}{b^{3}-a^{3}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{\tfrac{9}{4}a^{2}}\cdot\frac{\tfrac{19}{8}a^{3}}{b^{3}-a^{3}}.
  • Simplificando fator a fator:
\frac{\tfrac{19}{8}a^{3}}{\tfrac{9}{4}a^{2}}=\frac{19}{8}\cdot\frac{4}{9}\,a =\frac{19}{18}\,a.
  • Portanto o resultado final simplificado é
E\Bigl(r=\tfrac{3}{2}a\Bigr) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{19\,Q\,a}{18\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)}.

Resposta

E\Bigl(r=1{,}5\,a\Bigr)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{19\,Q\,a}{18\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)}.

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