Determine o módulo do campo elétrico em
Passo 1
O que o enunciado e a figura nos dão (peguei estas informações da imagem enviada):
- Há uma distribuição esférica de carga positiva, uniforme, ocupando a região entre dois raios concêntricos: raio interno
e raio externo . - O interior (
) parece ser vazio de carga (cavidade). - A carga total contida na casca esférica (entre
e ) vou chamar de (não foi dada numericamente; a resposta ficará em função de ).
O que é pedido: - Determinar o módulo do campo elétrico no ponto cuja distância ao centro é
(isto é, ).
Observação: comosatisfaz , o ponto está dentro da região carregada (dentro da casca, mas fora da cavidade).
Passo 2
Conceito e razão física que vamos usar — Lei de Gauss (explicação didática):
- A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida por
:
- Em problemas esfericamente simétricos (como este), o campo elétrico em uma superfície esférica concêntrica é radial e tem mesma magnitude em todos os pontos dessa esfera. Então o integrando é
constante sobre a superfície e a integral vira vezes a área da esfera:
- Portanto, para uma esfera de raio
concentricamente colocada no sistema:
ou seja
Explicando as variáveis:
-
é o módulo do campo elétrico na distância do centro. -
é a carga total contida numa esfera de raio (ou seja, a carga dentro da superfície gaussiana de raio ). -
é a permissividade elétrica do vácuo.
Passo 3
Como calcular
quando
(passo a passo, sem pular etapas):
- A carga está distribuída uniformemente no volume entre
e . Então existe uma densidade volumétrica de carga constante tal que a carga total está dada por
- Daí a densidade
é
- Para uma superfície gaussiana de raio
com , a carga contida até é a carga do volume entre e :
- Substituindo
em função de :
Esse é o resultado intuitivo: a fração da carga total contida dentro do raio
é a fração dos volumes
.
Passo 4
Aplicando Gauss para obter
para
:
- Usando a fórmula do Passo 2,
- Substituindo
do Passo 3:
- Esta é a expressão geral (em função de
) do módulo do campo no interior do material carregado (entre e ). Podemos também escrever em termos da densidade (às vezes é mais direto):
Ambas as formas são equivalentes, basta usar
se quiser trocar entre elas.
Passo 5
Agora avaliaremos em
e faremos as contas passo a passo:
- Primeiro calcule
para :
- Calcule
:
- Substituindo na expressão de
em termos de :
- Simplificando fator a fator:
- Portanto o resultado final simplificado é