Determine o módulo do campo elétrico em r=a / 2

Passo 1

O enunciado pede: determinar o módulo do campo elétrico em r = a/2.
Informações relevantes dadas (peguei estas informações da imagem):
  • Há uma distribuição de cargas positivas apenas na região radial compreendida entre r=a e r=b (ou seja, carga presente somente para a<r<b).
  • A região interna, r<a, não contém cargas (é uma cavidade ou região neutra).
  • A configuração é radialmente simétrica (os sinais de + na imagem estão distribuídos de modo uniforme em torno do centro), logo o campo, se existir, será radial e depende apenas de r.
  • O ponto onde se quer o campo é r=a/2, que satisfaz r<a.

Passo 2

Princípio que vamos usar: Lei de Gauss. Vou explicar ela direitinho.
A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico da superfície fechada é igual à carga total envolvida pela superfície dividido por \varepsilon_0:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
Explicando cada símbolo:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da superfície.
  • d\mathbf{A} é um elemento de área da superfície, apontando para fora.
  • A integral \oint é sobre toda a superfície fechada.
  • Q_{\text{enc}} é a carga total contida no volume limitado pela superfície.
  • \varepsilon_0 é a constante elétrica do vácuo.
Quando a distribuição tem simetria esférica (ou circular em corte) e o campo é radial e só depende de r, escolhemos uma superfície gaussiana esférica (de raio r) centrada no mesmo centro. Para essa superfície, \mathbf{E} tem módulo constante sobre a superfície e é paralelo a d\mathbf{A}, então
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^2,
onde E(r) é o módulo do campo na superfície de raio r, e 4\pi r^2 é a área da esfera de raio r.

Passo 3

Aplicando a estratégia ao nosso ponto: queremos o campo em r=a/2. Pela informação da imagem, para todo r<a não há carga presente (toda a carga está somente para a<r<b). Portanto, ao escolher uma superfície gaussiana esférica de raio r=a/2 ela não engloba nenhuma carga.
Logo, o total de carga envolvida por essa superfície é
Q_{\text{enc}}=0.

Passo 4

Inserindo na Lei de Gauss:
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}=\frac{0}{\varepsilon_0}=0.
Como 4\pi r^2 é diferente de zero para r=a/2, segue que
E(r)=0.

Passo 5

Interpretação física e dica para a prova (curtinha e prática):
  • Se não há carga no interior de uma casca esférica (ou de um anel esférico de carga) e a distribuição externa é esfericamente simétrica, o campo dentro dessa cavidade é nulo — basta aplicar a Lei de Gauss com uma esfera dentro da região sem carga.
  • Na prova: identifique primeiro se a superfície gaussiana engloba carga. Se não engloba, encerra ali: E=0.

Resposta

\displaystyle E=0

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