Determine o módulo do campo elétrico em
Passo 1
O enunciado pede: "Determine o módulo do campo elétrico em
". A figura mostra uma esfera (ou região esférica) com duas regiões concêntricas. Informações relevantes extraídas da figura:
- Há uma região interna (raio
) central (esfera interna). - Há uma região anular (entre
e ) preenchida por cargas positivas distribuídas (representadas por sinais ). - O ponto onde se quer o campo é exatamente na superfície esférica externa de raio
. - O enunciado não dá explicitamente valores numéricos de carga; portanto usarei notação geral: seja
a carga total contida na região (esfera interna) e seja a densidade volumétrica de carga da casca entre e (se a distribuição for uniforme).
O que precisamos encontrar: o módulo do campo elétrico
no ponto com coordenada radial
.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação didática)
- Pelo aspecto da figura temos simetria esférica: as cargas estão distribuídas de modo que, ao redor do centro, qualquer superfície esférica concêntrica vê a mesma configuração. Nesses casos a melhor ferramenta é a Lei de Gauss.
- A Lei de Gauss (em palavras simples) diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total interna dividida por
. Em fórmula:
onde:
-
é o campo elétrico, -
é o elemento de área apontando para fora, -
é a carga total contida dentro da superfície fechada, -
é a constante de permissividade do vácuo. -
Para uma superfície esférica de raio
centrada no mesmo centro das cargas, por simetria o campo tem módulo constante em toda a superfície e é radial. Então o fluxo é área da esfera = . Assim:
onde
é a carga total contida dentro de uma esfera de raio
.
Passo 3
Calcular a carga total contida dentro da esfera de raio
- A carga total dentro de
vem de duas contribuições: - A carga da esfera interna (toda ela está em
): denote-a por . - A carga contida na casca entre
e . Se a densidade volumétrica for uniforme e igual a , a carga da casca é a densidade vezes o volume da casca. O volume de uma casca esférica de raios internos e externos é
- A carga da esfera interna (toda ela está em
Portanto a carga da casca é
- Assim a carga total contida dentro de
é
(Comentário pedagógico rápido: se preferir, pode obter
integrando a densidade sobre o volume usando o elemento
:
Esse passo mostra a origem do fator
.)
Passo 4
Aplicar a Lei de Gauss para obter
em
- Pela Lei de Gauss e pela simetria esférica, no raio
vale
- Substituindo
calculado no passo anterior:
- Isolando
:
- Essa é a expressão geral do módulo do campo elétrico em
para a configuração mostrada, com a carga total da região e a densidade volumétrica da casca .
Passo 5
Casos especiais úteis (interpretação direta)
- Se a casca tiver carga total
e essa for igual e de sinal oposto à carga do núcleo, isto é,
então
e, pela Lei de Gauss,
. Esse é um caso comum em exercícios: núcleo com carga
e casca com carga
levam a campo nulo fora da casca (e também na superfície externa
).
- Se a casca não for uniformemente carregada, o procedimento é o mesmo: calcular
por integração da densidade (se conhecida) entre e e usar a expressão de Gauss acima.
Resposta
Se
então
.