Determine o módulo do campo elétrico em r=b

Passo 1

O enunciado pede: "Determine o módulo do campo elétrico em r=b". A figura mostra uma esfera (ou região esférica) com duas regiões concêntricas. Informações relevantes extraídas da figura:
  • Há uma região interna (raio a) central (esfera interna).
  • Há uma região anular (entre r=a e r=b) preenchida por cargas positivas distribuídas (representadas por sinais +).
  • O ponto onde se quer o campo é exatamente na superfície esférica externa de raio r=b.
  • O enunciado não dá explicitamente valores numéricos de carga; portanto usarei notação geral: seja Q_{\text{int}} a carga total contida na região r\le a (esfera interna) e seja \rho a densidade volumétrica de carga da casca entre a e b (se a distribuição for uniforme).
O que precisamos encontrar: o módulo do campo elétrico E no ponto com coordenada radial r=b.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática)
  • Pelo aspecto da figura temos simetria esférica: as cargas estão distribuídas de modo que, ao redor do centro, qualquer superfície esférica concêntrica vê a mesma configuração. Nesses casos a melhor ferramenta é a Lei de Gauss.
  • A Lei de Gauss (em palavras simples) diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total interna dividida por \varepsilon_0. Em fórmula:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico,
  • d\mathbf{A} é o elemento de área apontando para fora,
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada,
  • \varepsilon_0 é a constante de permissividade do vácuo.
  • Para uma superfície esférica de raio r centrada no mesmo centro das cargas, por simetria o campo tem módulo constante em toda a superfície e é radial. Então o fluxo é E(r)\times área da esfera = E(r)\cdot 4\pi r^2. Assim:
E(r)\,4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}}(r) é a carga total contida dentro de uma esfera de raio r.

Passo 3

Calcular a carga total contida dentro da esfera de raio r=b
  • A carga total dentro de r=b vem de duas contribuições:
    1. A carga da esfera interna (toda ela está em r\le a): denote-a por Q_{\text{int}}.
    2. A carga contida na casca entre r=a e r=b. Se a densidade volumétrica for uniforme e igual a \rho, a carga da casca é a densidade vezes o volume da casca. O volume de uma casca esférica de raios internos a e externos b é
V_{\text{casca}} = \frac{4}{3}\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr).
Portanto a carga da casca é
Q_{\text{casca}} = \rho \,V_{\text{casca}} = \rho\,\frac{4}{3}\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr).
  • Assim a carga total contida dentro de r=b é
Q_{\text{enc}} = Q_{\text{int}} + Q_{\text{casca}} = Q_{\text{int}} + \rho\,\frac{4}{3}\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr).
(Comentário pedagógico rápido: se preferir, pode obter Q_{\text{casca}} integrando a densidade sobre o volume usando o elemento dV=4\pi r^{2}dr:
Q_{\text{casca}}=\int_{a}^{b}\rho\,4\pi r^{2}\,dr=\rho\,4\pi\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{a}^{b}=\rho\,\frac{4}{3}\pi(b^{3}-a^{3}).
Esse passo mostra a origem do fator (b^{3}-a^{3}).)

Passo 4

Aplicar a Lei de Gauss para obter E em r=b
  • Pela Lei de Gauss e pela simetria esférica, no raio r=b vale
E(b)\,4\pi b^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
  • Substituindo Q_{\text{enc}} calculado no passo anterior:
E(b)\,4\pi b^{2}=\frac{1}{\varepsilon_0}\Biggl(Q_{\text{int}}+\rho\,\frac{4}{3}\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)\Biggr).
  • Isolando E(b):
E(b)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\text{int}}+\rho\,\dfrac{4}{3}\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)}{b^{2}}.
  • Essa é a expressão geral do módulo do campo elétrico em r=b para a configuração mostrada, com Q_{\text{int}} a carga total da região r\le a e \rho a densidade volumétrica da casca a<r<b.

Passo 5

Casos especiais úteis (interpretação direta)
  • Se a casca tiver carga total Q_{\text{casca}}=\rho\,\dfrac{4}{3}\pi(b^{3}-a^{3}) e essa for igual e de sinal oposto à carga do núcleo, isto é,
Q_{\text{int}} + Q_{\text{casca}} = 0,
então Q_{\text{enc}}=0 e, pela Lei de Gauss, E(b)=0. Esse é um caso comum em exercícios: núcleo com carga -Q e casca com carga +Q levam a campo nulo fora da casca (e também na superfície externa r=b).
  • Se a casca não for uniformemente carregada, o procedimento é o mesmo: calcular Q_{\text{casca}} por integração da densidade (se conhecida) entre a e b e usar a expressão de Gauss acima.

Resposta

E(b)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\text{int}}+\rho\,\dfrac{4}{3}\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)}{b^{2}}
Se Q_{\text{int}}+ \rho\,\dfrac{4}{3}\pi(b^{3}-a^{3})=0 então E(b)=0.

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