Determine o módulo de elasticidade ao longo da direção transversal de um material compósito formado por matriz e fibras alinhadas, cujo módulo de elasticidade seja de 80 Mpa e 400 Mpa , respectivamente da matriz e das fibras. O compósito possui um percentual de 20% de fibras e 80% de matriz.
b- para fibras curtas.
b- para fibras curtas.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.\n
- Pedido: determinar o módulo de elasticidade do compósito ao longo da direção transversal. Além disso foi perguntado especificamente o caso das fibras curtas (item b).\n
- Dados fornecidos:\n
- módulo da matriz:
\n - módulo das fibras:
\n - fração volumétrica de fibras:
\n - fração volumétrica da matriz:
\n
- módulo da matriz:
- Observação: o enunciado não pede explicitamente o caso de fibras contínuas, mas como foi perguntado o caso de fibras curtas no item (b), vou primeiro calcular o módulo transversal para fibra alinhada contínua (caso padrão) e depois tratar o efeito de fibras curtas.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática e passo a passo).\n
- Intuição física: quando carregamos o compósito na direção transversal (isto é, perpendicular ao eixo das fibras), o modo como carga e deformação se distribuem entre fibras e matriz é diferente do caso longitudinal. No sentido transversal as fases ficam análogas a “molas em série” — a resposta efetiva tende a estar mais próxima da média harmônica dos módulos das fases, não da média aritmética. Por isso usamos a chamada regra das misturas inversa (limite de Reuss) para o módulo transversal.\n
- Fórmula (modelo clássico para compósito unidirecional, direção transversal):\n
onde:\n
-
é o módulo efetivo do compósito na direção transversal;\n -
é a fração volumétrica das fibras;\n -
é a fração volumétrica da matriz (nota: );\n -
e são os módulos das fibras e da matriz respectivamente.\n - Justificativa curta da fórmula: a expressão acima resulta do balanço entre deformações e esforços quando a configuração geométrica faz com que as fases suportem a carga de forma semelhante a elementos em série (modelo de isostress/isostrain dependendo do arranjo). Para provas, memorize que: longitudinal (paralelo às fibras) -> média ponderada aritmética; transversal -> média harmônica, dada pela fórmula acima.
Passo 3
Aplicando a fórmula com os valores numéricos (cálculo passo a passo para fibras contínuas/alinhadas).\n
- Primeiro calculamos os termos da soma na direita da fórmula:\n
-
\n -
\n
-
- Somando:\n
- Invertendo para obter
:\n
- Arredondando de forma prática para a prova:
.\n - Interpretação rápida: o módulo transversal do compósito é maior que o da matriz (
), porque as fibras mais rígidas ajudam mesmo na direção transversal, mas o ganho é modesto — a fibra contribui menos no transversal do que no longitudinal.
Passo 4
Efeito de fibras curtas (item b): por que o resultado costuma ser igual ou muito próximo ao caso contínuo.\n
- Ideia física: o comprimento das fibras afeta fortemente a rigidez na direção longitudinal porque a transferência de tensão ao longo do eixo da fibra depende do comprimento das fibras (eficiência de ancoragem, efeito de extremidades). Para a direção transversal, o carregamento atravessa a seção onde fibras e matriz coexistem lado a lado; a capacidade de cada fase de deformar sob carga transversal não depende tanto do comprimento das fibras — o problema é dominado pelas propriedades locais da fibra e da matriz e pela sua fração volumétrica.\n
- Consequência prática: a expressão harmônica usada no Passo 2 é válida (ou pelo menos uma boa aproximação) tanto para fibras contínuas quanto para fibras curtas alinhadas quando o que se pede é o módulo transversal. Modelos mais sofisticados (por exemplo Halpin–Tsai) podem ajustar ligeiramente o valor, mas para muitos exercícios de prova e estimativas rápidas assume‑se que\n
\n - Portanto, para o caso das fibras curtas do enunciado, usamos o valor calculado no Passo 3:
.\n - Observação de prova: se o enunciado pedisse precisão maior ou um modelo específico (por exemplo Halpin–Tsai com parâmetro
), aí sim teríamos que aplicar essa fórmula extra; mas quando a pergunta é apenas “para fibras curtas” em nível básico, a resposta padrão é que o módulo transversal permanece aproximadamente o mesmo do caso contínuo.
Resposta
(a)
(fibras contínuas/alinhadas)
\n
(b) (fibras curtas)
(b)