(1,5) Determine o peso molecular médio pelo peso das moléculas de um polímero cujas frequências por classes de pesos encontra-se na tabela abaixo:
Peso ( 10^{6} \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ) Frequência
10 a 30 0,15
30 a 50 0,40
50 a 70 0,25
70 a 90 0,20

Passo 1

O enunciado pede para determinar o peso molecular médio “pelo peso das moléculas” de um polímero, usando a tabela de classes de peso e suas frequências. Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{ll} \text{Classe de peso ( }10^{6}\,\mathrm{g/mol}\text{ )} & \text{Frequência} \\\\ 10\\ \text{a}\\\ 30 & 0,15 \\\\ 30\\ \text{a}\\\ 50 & 0,40 \\\\ 50\\ \text{a}\\\ 70 & 0,25 \\\\ 70\\ \text{a}\\\ 90 & 0,20 \end{array}ê
O que é pedido: calcular o peso molecular médio “pelo peso das moléculas” (ou seja, o peso-médio ponderado pela massa das moléculas). Não começo a resolver aqui — só deixei claro o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Entendendo o que significa “peso molecular médio pelo peso das moléculas” (intuição e fórmula): quando queremos o peso-médio ponderado pela massa (conhecido em polímeros como M_w), damos mais importância às moléculas maiores porque elas contribuem mais para a massa total. Se tivermos classes com massas típicas M_i e frações (por número) f_i dessas moléculas, a fórmula prática é
M_w = \frac{\sum_i f_i M_i^2}{\sum_i f_i M_i}.
Explicando cada símbolo:
  • M_w é o peso molecular médio ponderado pela massa (peso-médio).
  • f_i é a frequência (fração do total de moléculas) da i-ésima classe; aqui os f_i somam 1.
  • M_i é a massa representativa da i-ésima classe (usualmente tomamos o ponto médio da classe).
    A razão da presença de M_i^2 no numerador vem do fato de que, ao ponderar por massa, cada molécula de massa M contribui com um “peso” proporcional a M para a massa total; combinando isso com a contagem N (proporcional a f) dá o termo f_i M_i^2. Para fixar a ideia, num exemplo simples com duas moléculas de massas M_a e M_b, a média ponderada por massa dá mais voz à molécula maior.

Passo 3

Escolher as massas representativas M_i (pontos médios das classes): para classes 10\!-\!30,\;30\!-\!50,\;50\!-\!70,\;70\!-\!90 tomamos os pontos médios
M_1=20,\quad M_2=40,\quad M_3=60,\quad M_4=80
aqui os M_i estão na mesma unidade da tabela: 10^{6}\,\mathrm{g/mol}. As frequências (da tabela) são
f_1=0,15,\quad f_2=0,40,\quad f_3=0,25,\quad f_4=0,20.
Verificação rápida: as frequências somam
\sum_i f_i = 0,15+0,40+0,25+0,20 = 1,00,
ou seja, são frações relativas consistentes.

Passo 4

Calcular o denominador \sum_i f_i M_i (é a média numérica M_n multiplicada por 1, mas usamos só para M_w). Faço termo a termo:
f_1M_1 = 0,15\cdot 20 = 3,0,
f_2M_2 = 0,40\cdot 40 = 16,0,
f_3M_3 = 0,25\cdot 60 = 15,0,
f_4M_4 = 0,20\cdot 80 = 16,0.
Somando:
\sum_i f_i M_i = 3,0 + 16,0 + 15,0 + 16,0 = 50,0.
O valor 50{,}0 está na unidade 10^{6}\,\mathrm{g/mol} (porque os M_i estavam nessa unidade).

Passo 5

Calcular o numerador \sum_i f_i M_i^2. Novamente termo a termo:
M_1^2 = 20^2 = 400,\quad f_1M_1^2 = 0,15\cdot 400 = 60,0,
M_2^2 = 40^2 = 1600,\quad f_2M_2^2 = 0,40\cdot 1600 = 640,0,
M_3^2 = 60^2 = 3600,\quad f_3M_3^2 = 0,25\cdot 3600 = 900,0,
M_4^2 = 80^2 = 6400,\quad f_4M_4^2 = 0,20\cdot 6400 = 1280,0.
Somando:
\sum_i f_i M_i^2 = 60,0 + 640,0 + 900,0 + 1280,0 = 2880,0.
Aqui os números estão em (10^{6}\,\mathrm{g/mol})^2, mas como vamos dividir pelo denominador que está em 10^{6}\,\mathrm{g/mol}, o resultado ficará em 10^{6}\,\mathrm{g/mol} — ótimo.

Passo 6

Calcular M_w usando a fórmula:
M_w = \frac{\sum_i f_i M_i^2}{\sum_i f_i M_i} = \frac{2880{,}0}{50{,}0} = 57{,}6.
Lembre que esse 57{,}6 está na unidade 10^{6}\,\mathrm{g/mol} (porque os M_i estavam nessa unidade). Podemos também escrever em notação convencional:
M_w = 57{,}6\times 10^{6}\,\mathrm{g/mol} = 5{,}76\times 10^{7}\,\mathrm{g/mol}.

Resposta

M_w = 57{,}6\times10^{6}\,\mathrm{g/mol} = 5{,}76\times10^{7}\,\mathrm{g/mol}

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