Determine o módulo de elasticidade ao longo da direção transversal de um material compósito formado por matriz e fibras alinhadas, cujo módulo de elasticidade seja de 80 Mpa e 400 Mpa , respectivamente da matriz e das fibras. O compósito possui um percentual de 20% de fibras e 80% de matriz.
a- para fibras longas.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o módulo de elasticidade do compósito ao longo da direção transversal para fibras longas.
Dados fornecidos:
  • módulo da matriz: E_m = 80\\ \text{MPa}
  • módulo das fibras: E_f = 400\\ \text{MPa}
  • percentual de fibras: V_f = 20\% (ou seja, V_f = 0,20)
  • percentual de matriz: V_m = 80\% (ou seja, V_m = 0,80)

Passo 2

Qual é a ideia física por trás do cálculo (explicação didática e intuitiva): quando carregamos o compósito na direção transversal (perpendicular ao eixo das fibras), as diferentes fases (fibras e matriz) recebem basicamente a mesma tensão aplicada — isso é análogo a molas colocadas em série sob uma força comum. Para arranjos em série a grandeza que se soma é a deformação (ou, equivalentemente, a complacência = 1/E). Assim, para a direção transversal usamos a regra das complacências (regra de Reuss), que dá a relação harmônica entre os módulos das fases.

Passo 3

Apresentação e derivação da fórmula que vamos usar: seja E_T o módulo efetivo transversal do compósito. A ideia da regra de Reuss (isostress) é:
\frac{1}{E_T} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{V_m}{E_m}.
Explicação das variáveis:
  • E_T é o módulo efetivo transversal que queremos achar;
  • V_f e V_m são as frações volumétricas das fibras e da matriz, respectivamente (satisfazem V_f+V_m=1);
  • E_f e E_m são os módulos das fibras e da matriz, respectivamente.
    Essa fórmula vem do somatório das complacências ponderadas pelas frações volumétricas.

Passo 4

Substituição dos valores numéricos na fórmula: primeiro escrevo as frações em decimal.
V_f = 0,20,\qquad V_m = 0,80.
Agora substituo em
\frac{1}{E_T} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{V_m}{E_m} = \frac{0,20}{400} + \frac{0,80}{80}.

Passo 5

Cálculo passo a passo das parcelas e da inversão:
\frac{0,20}{400} = 0,0005,
\frac{0,80}{80} = 0,0100,
\frac{1}{E_T} = 0,0005 + 0,0100 = 0,0105.
Invertendo para obter E_T:
E_T = \frac{1}{0,0105} \approx 95,238095\\ \text{MPa}.
Arredondando de forma prática para a prova (duas casas decimais):
E_T \approx 95,24\\ \text{MPa}.

Passo 6

Interpretação rápida (útil para a prova): o módulo transversal E_T fica entre E_m e E_f. No nosso caso E_m=80\\ \text{MPa}, E_f=400\\ \text{MPa} e E_T\approx95,24\\ \text{MPa}, ou seja, o comportamento transversal é pouco maior que o da matriz, porque a fração de fibras é pequena ( 20\%).

Resposta

95,24\\ \text{MPa}

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