Determine o módulo de resiliência das seguintes ligas metálicas:
(c) Cobre-Níquel(recozido) E=138 \mathrm{GPa} \quad \sigma_{E}=110 \mathrm{MPa}

Passo 1

O enunciado pede o módulo de resiliência da liga Cobre‑Níquel (recozido).
Dados fornecidos:
\;E=138\\ \mathrm{GPa} e \;\sigma_{E}=110\\ \mathrm{MPa}.
Não há outras perguntas; queremos calcular a energia elástica máxima por volume que o material armazena até o escoamento (módulo de resiliência).

Passo 2

O que é módulo de resiliência e a fórmula que usamos.
Módulo de resiliência ( U_r) é a energia elástica armazenada por unidade de volume até o limite de escoamento. Para um comportamento elástico linear (reta tensão‑deformação até o escoamento) a área sob a curva tensão ( \sigma) vs. deformação ( \varepsilon) até \sigma_{y} é um triângulo de base \varepsilon_{y} e altura \sigma_{y}. Portanto:
U_r = \frac{1}{2}\,\sigma_{y}\,\varepsilon_{y}.
Aqui:
  • \sigma_{y} é a tensão de escoamento (no enunciado \sigma_{E});
  • \varepsilon_{y} é a deformação correspondente ao escoamento.
    Como o comportamento é elástico linear até o escoamento, vale a Lei de Hooke:
\varepsilon_{y}=\frac{\sigma_{y}}{E},
onde E é o módulo de Young (módulo de elasticidade). Substituindo em U_r:
U_r=\frac{1}{2}\,\sigma_{y}\,\frac{\sigma_{y}}{E}=\frac{\sigma_{y}^{2}}{2E}.
Essa é a fórmula que vamos aplicar. Explicando: \sigma_{y}^{2} tem unidades de pressão ao quadrado, dividido por E (pressão) resulta em pressão, e pressão é energia por volume (J/m^3).

Passo 3

Unidades: vamos colocar tudo na mesma unidade. Dado:
\;E=138\\ \mathrm{GPa}=138000\\ \mathrm{MPa} (pois 1\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{MPa}), e \;\sigma_{y}=\sigma_{E}=110\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
U_r=\frac{\sigma_{y}^{2}}{2E}=\frac{(110\\ \mathrm{MPa})^{2}}{2\cdot 138000\\ \mathrm{MPa}}.
Calculemos passo a passo: o numerador é
(110)^{2}=12100\\ \mathrm{MPa}^{2}.
O denominador é
2\cdot 138000=276000\\ \mathrm{MPa}.
Dividindo:
U_r=\frac{12100}{276000}\\ \mathrm{MPa}=0,0438405797\\ \mathrm{MPa}.
Converter \mathrm{MPa} para \mathrm{J/m^{3}}: 1\\ \mathrm{MPa}=10^{6}\\ \mathrm{N/m^{2}}=10^{6}\\ \mathrm{J/m^{3}}. Logo
U_r=0,0438405797\\ \mathrm{MPa}=0,0438405797\times 10^{6}\\ \mathrm{J/m^{3}}=43840,6\\ \mathrm{J/m^{3}}.
Para um valor mais prático:
U_r\approx 43,84\\ \mathrm{kJ/m^{3}}=0,04384\\ \mathrm{MJ/m^{3}}.

Resposta

\;U_r=43,84\\ \mathrm{kJ/m^{3}}

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