Determine o módulo de resiliência das seguintes ligas metálicas:
(b) Magnésio: E=44,8 \mathrm{GPa} \sigma_{E}=200 \mathrm{MPa}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o módulo de resiliência da liga de magnésio, usando os dados fornecidos.
Dados fornecidos: E=44,8\\ \mathrm{GPa} e \sigma_{E}=200\\ \mathrm{MPa}.
O que precisamos entregar: o valor numérico do módulo de resiliência (energia elástica máxima por unidade de volume até o escoamento) em unidades de energia por volume (por exemplo, \mathrm{J/m^{3}}), e é útil apresentar também em \mathrm{kJ/m^{3}} ou \mathrm{MJ/m^{3}}.

Passo 2

Entendendo o que é módulo de resiliência e a fórmula: o módulo de resiliência U_{r} é a energia elástica que o material armazena por unidade de volume quando é carregado até o limite de escoamento. Em um regime elástico linear (Lei de Hooke), o gráfico tensão \times deformação é uma reta, então a energia por unidade de volume até o escoamento é a área de um triângulo de base \varepsilon_{y} (deformação de escoamento) e altura \sigma_{y} (tensão de escoamento). Assim:
U_{r}=\frac{1}{2}\,\sigma_{y}\,\varepsilon_{y}.
Como na elasticidade linear a deformação é proporcional à tensão ( \varepsilon=\sigma/E), substituímos \varepsilon_{y}=\sigma_{y}/E e obtemos a fórmula prática:
U_{r}=\frac{\sigma_{y}^{2}}{2E}.
Aqui: \sigma_{y} é a tensão de escoamento (unidade: \mathrm{Pa}), E é o módulo de elasticidade (unidade: \mathrm{Pa}), e U_{r} fica em \mathrm{J/m^{3}} porque 1\\ \mathrm{Pa}=1\\ \mathrm{N/m^{2}}=1\\ \mathrm{J/m^{3}}.

Passo 3

Converter os dados para unidades SI consistentes (Pa):
E=44,8\\ \mathrm{GPa}=44{,}8\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},
\sigma_{y}=\sigma_{E}=200\\ \mathrm{MPa}=200\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Aplicar a fórmula e montar o cálculo:
U_{r}=\frac{\sigma_{y}^{2}}{2E}=\frac{(200\times10^{6})^{2}}{2\cdot 44{,}8\times10^{9}}.
Calculemos passo a passo os termos numéricos:
(200\times10^{6})^{2}=4\times10^{16}\\ \mathrm{Pa}^{2},
2\cdot 44{,}8\times10^{9}=89{,}6\times10^{9}=8{,}96\times10^{10}\\ \mathrm{Pa}.
Agora a divisão:
U_{r}=\frac{4\times10^{16}}{8{,}96\times10^{10}}=\frac{4}{8{,}96}\times10^{6}.
\frac{4}{8{,}96}\approx0{,}44642857\quad\Rightarrow\quad U_{r}\approx0{,}44642857\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Converter o resultado para unidades mais usuais de energia por volume:
U_{r}\approx4{,}4642857\times10^{5}\\ \mathrm{J/m^{3}}.
Em \mathrm{kJ/m^{3}}:
U_{r}\approx446{,}4\\ \mathrm{kJ/m^{3}}.
Em \mathrm{MJ/m^{3}} (ou em \mathrm{MPa}, lembrando que 1\\ \mathrm{MPa}=10^{6}\\ \mathrm{Pa}=10^{6}\\ \mathrm{J/m^{3}}):
U_{r}\approx0{,}4464\\ \mathrm{MJ/m^{3}} \;=\;0{,}4464\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para prova: o módulo de resiliência é relativamente pequeno para materiais com baixo módulo de elasticidade e tensões de escoamento moderadas; para comparar materiais, calcule \sigma_{y}^{2}/(2E). Na prova, transforme sempre E e \sigma para Pa antes de aplicar a fórmula para não errar ordens de grandeza.

Resposta

U_{r}\approx4{,}46\times10^{5}\\ \mathrm{J/m^{3}}
U_{r}\approx446{,}4\\ \mathrm{kJ/m^{3}}
U_{r}\approx0{,}4464\\ \mathrm{MJ/m^{3}}

Exercícios relacionados