Determine o módulo de resiliência de cada um dos seguintes metais:
(a) Aço inoxidável
AISI 302 (recozido):
E=190 \mathrm{GPa} \quad \sigma_{E}=260 \mathrm{MPa}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o módulo de resiliência do aço inoxidável AISI 302 (recozido). Os dados fornecidos são:
E = 190\\ \mathrm{GPa}
\sigma_{E} = 260\\ \mathrm{MPa}
Ou seja, temos o módulo de elasticidade E e a tensão de escoamento \sigma_{E}. A tarefa é calcular o módulo de resiliência usando esses dados.

Passo 2

Vamos entender o que é o módulo de resiliência e a fórmula que usaremos. O módulo de resiliência U_r é a energia por unidade de volume que o material pode armazenar elasticamente até o limite de escoamento. Geometricamente, é a área sob a curva tensão-deformação no trecho elástico (que é uma reta, se o material obedece a Lei de Hooke) desde zero até o ponto de escoamento. Para um comportamento elástico linear temos:
U_r = \frac{1}{2}\,\sigma_{E}\,\varepsilon_{E}
onde \varepsilon_{E} é a deformação correspondente à tensão de escoamento \sigma_{E}. Pela Lei de Hooke relacionamos tensão e deformação no regime elástico:
\sigma = E\,\varepsilon
Logo, em \sigma_{E} temos \varepsilon_{E} = \dfrac{\sigma_{E}}{E}. Substituindo em U_r obtemos a fórmula prática:
U_r = \frac{\sigma_{E}^2}{2E}
Aqui:
  • \sigma_{E} é a tensão de escoamento (unidade: \mathrm{Pa}),
  • E é o módulo de elasticidade (unidade: \mathrm{Pa}),
  • U_r fica em \mathrm{J/m^3} (que é numericamente igual a \mathrm{Pa}).

Passo 3

Convertemos os dados para unidades do SI (Pascal):
E = 190\\ \mathrm{GPa} = 190\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}
\sigma_{E} = 260\\ \mathrm{MPa} = 260\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula \displaystyle U_r=\frac{\sigma_{E}^2}{2E} e calculamos passo a passo.
Calculemos primeiro \sigma_{E}^2:
\sigma_{E}^2 = \left(260\times10^{6}\right)^2 = 260^2\times10^{12} = 67\,600\times10^{12} = 6{,}76\times10^{16}\\ \mathrm{Pa^2}
O denominador é 2E:
2E = 2\times(190\times10^{9}) = 380\times10^{9} = 3{,}8\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}
Agora a divisão:
U_r = \frac{6{,}76\times10^{16}}{3{,}8\times10^{11}} = 1{,}778947368\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}
Arredondando de forma confortável para três algarismos significativos:
U_r \approx 1{,}78\times10^{5}\\ \mathrm{J/m^{3}}
Se preferir em quilojoule por metro cúbico:
U_r \approx 177{,}9\\ \mathrm{kJ/m^{3}}
(Recordando: \mathrm{J/m^{3}} é numericamente igual a \mathrm{Pa}.)

Passo 5

Interpretação rápida para te dar confiança: esse valor significa que 1 metro cúbico desse aço consegue armazenar elasticamente cerca de 177{,}9\\ \mathrm{kJ} antes de começar a escoar. Em termos práticos, por centímetro cúbico isso dá cerca de 0{,}178\\ \mathrm{J/cm^{3}} (dividindo por 10^{6}), o que ajuda a visualizar ordens de grandeza.

Resposta

U_r \approx 1{,}78\times10^{5}\\ \mathrm{J/m^{3}} (ou 177{,}9\\ \mathrm{kJ/m^{3}})

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