Determine o momento das barras em torno da origem, da massa e do centro de massa dadas às funções densidades de barras finas situadas ao longo de vários intervalos do eixo OX .
\delta(x)=\left\{\begin{array}{c}2-x, 0 \leq x<1 \\\ x, 1 \leq x \leq 2\end{array} \quad\right. Mo =3 \quad M=3 \quad \bar{x}=1

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que ele pede, sem resolver ainda.
  • Dado: a densidade linear da barra ao longo do eixo OX\) é uma função por partes \[\delta(x)=\begin{cases} 2-x, & 0 \le x < 1,\\[4pt] x, & 1 \le x \le 2. \end{cases}
  • A barra ocupa o intervalo [0,2]\] no eixo \(x.
  • O enunciado pede que se determine:
    • o momento da barra em torno da origem (vou chamar de M_0);
    • a massa total da barra (vou chamar de M);
    • a posição do centro de massa (vou chamar de \bar{x}).
Vamos calcular M, M_0 e, por fim, \bar{x}.]

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo):
  • Massa total M de uma barra com densidade linear \delta(x) ao longo do intervalo [a,b] é a integral
M=\int_{a}^{b}\delta(x)\,dx.
Isto significa que somamos a contribuição de massa de cada pedacinho infinitesimal de comprimento dx, cuja massa é \delta(x)\,dx.
  • Momento em relação à origem M_0 (também chamado primeiro momento) é
M_0=\int_{a}^{b} x\,\delta(x)\,dx.
Aqui multiplicamos a massa de cada pedaço \delta(x)\,dx pela sua posição x em relação à origem e somamos tudo. Esse é o “momento” em torno da origem.
  • Centro de massa \bar{x} é a razão entre o momento em relação à origem e a massa total:
\bar{x}=\frac{M_0}{M}.
Intuitivamente, é o ponto onde toda a massa poderia ser concentrada sem alterar o momento em relação à origem.
Como a densidade é por partes, vamos calcular as integrais como soma de integrais nos subintervalos [0,1) e [1,2].

Passo 3

Cálculo da massa M.
Escrevendo a integral por partes:
M=\int_{0}^{2}\delta(x)\,dx=\int_{0}^{1}(2-x)\,dx+\int_{1}^{2}x\,dx.
Agora calculo cada integral detalhadamente.
Primeira integral:
\int_{0}^{1}(2-x)\,dx=\left[2x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \left(2\cdot 1-\frac{1^{2}}{2}\right)-\left(2\cdot 0-\frac{0^{2}}{2}\right) =2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Segunda integral:
\int_{1}^{2}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2} = \frac{4}{2}-\frac{1}{2} =2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Somando:
M=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3.
Portanto a massa total é M=3.

Passo 4

Cálculo do momento em relação à origem M_0.
Escrevo a integral:
M_0=\int_{0}^{2} x\,\delta(x)\,dx =\int_{0}^{1} x(2-x)\,dx+\int_{1}^{2} x\cdot x\,dx =\int_{0}^{1}(2x-x^{2})\,dx+\int_{1}^{2}x^{2}\,dx.
Calculo cada parte passo a passo.
Primeira parte:
\int_{0}^{1}(2x-x^{2})\,dx =\left[ x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \left(1^{2}-\frac{1^{3}}{3}\right)-0 =1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Segunda parte:
\int_{1}^{2}x^{2}\,dx =\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3} = \frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.
Somando as duas partes:
M_0=\frac{2}{3}+\frac{7}{3}=\frac{9}{3}=3.
Portanto o momento em torno da origem é M_0=3.

Passo 5

Cálculo do centro de massa \bar{x}.
Usando a definição
\bar{x}=\frac{M_0}{M},
substitui-se os valores obtidos:
\bar{x}=\frac{3}{3}=1.
Interpretação rápida: a massa está distribuída de forma que o centro de massa fica exatamente em x=1, o ponto onde a densidade muda de ramo.

Passo 6

Breve verificação de consistência (sanity check) — sem contas pesadas:
  • As duas metades (integradas) da massa deram \tfrac{3}{2} cada, somando 3.
  • O momento também deu 3, o que faz \bar{x}=1. Isso tem sentido porque a densidade decresce de 2 para 1 em [0,1] e depois aumenta de 1 para 2 em [1,2] (no segundo ramo \delta(x)=x), fazendo uma distribuição simétrica em relação a x=1 no que toca ao primeiro momento.

Resposta

M_0=3
M=3
\bar{x}=1

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