Determine o momento das barras em torno da origem, da massa e do centro de massa dadas às funções densidades de barras finas situadas ao longo de vários intervalos do eixo OX .
Mo
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que ele pede, sem resolver ainda.
- Dado: a densidade linear da barra ao longo do eixo
- A barra ocupa o intervalo .
- O enunciado pede que se determine:
- o momento da barra em torno da origem (vou chamar de
); - a massa total da barra (vou chamar de
); - a posição do centro de massa (vou chamar de
).
- o momento da barra em torno da origem (vou chamar de
Vamos calcular
,
e, por fim,
.]
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo):
- Massa total
de uma barra com densidade linear ao longo do intervalo é a integral
Isto significa que somamos a contribuição de massa de cada pedacinho infinitesimal de comprimento
, cuja massa é
.
- Momento em relação à origem
(também chamado primeiro momento) é
Aqui multiplicamos a massa de cada pedaço
pela sua posição
em relação à origem e somamos tudo. Esse é o “momento” em torno da origem.
- Centro de massa
é a razão entre o momento em relação à origem e a massa total:
Intuitivamente, é o ponto onde toda a massa poderia ser concentrada sem alterar o momento em relação à origem.
Como a densidade é por partes, vamos calcular as integrais como soma de integrais nos subintervalos
e
.
Passo 3
Cálculo da massa
.
Escrevendo a integral por partes:
Agora calculo cada integral detalhadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Somando:
Portanto a massa total é
.
Passo 4
Cálculo do momento em relação à origem
.
Escrevo a integral:
Calculo cada parte passo a passo.
Primeira parte:
Segunda parte:
Somando as duas partes:
Portanto o momento em torno da origem é
.
Passo 5
Cálculo do centro de massa
.
Usando a definição
substitui-se os valores obtidos:
Interpretação rápida: a massa está distribuída de forma que o centro de massa fica exatamente em
, o ponto onde a densidade muda de ramo.
Passo 6
Breve verificação de consistência (sanity check) — sem contas pesadas:
- As duas metades (integradas) da massa deram
cada, somando . - O momento também deu
, o que faz . Isso tem sentido porque a densidade decresce de para em e depois aumenta de para em (no segundo ramo ), fazendo uma distribuição simétrica em relação a no que toca ao primeiro momento.