Encontre a solução particular:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}=x+1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' + y' = x + 1
e pede para encontrar uma solução particular dessa equação. Informações relevantes que temos:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é um polinômio em x de grau 1: x+1.
  • Precisamos apenas de uma solução particular y_p(x) (não é pedido aqui a solução geral).

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: considerar a equação homogênea associada para saber quais funções aparecem na solução homogênea. A homogênea é
y'' + y' = 0.
Para resolver, usamos a equação característica: suponha y=e^{rx}. Substituindo na homogênea dá
r^2 + r = 0.
Essa é uma equação algébrica em r. Vamos resolver:
r(r+1)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \quad\text{ou}\quad r=-1.
Como a equação é linear com raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{-x} = C_1 + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Explicação didática: a raiz r=0 corresponde a termos constantes na solução homogênea (por isso aparece C_1), e r=-1 gera o termo exponencial e^{-x}.

Passo 3

Agora vamos escolher a forma do palpite para a solução particular. Método usado: coeficientes indeterminados (muito prático quando o lado direito é polinômio, exponencial, seno/cosseno ou combinação deles).
Regra prática (explicada): se o termo não-homogêneo for um polinômio de grau n, um palpite inicial para y_p é um polinômio de grau n com coeficientes indeterminados. Porém, se alguma parte desse palpite já aparece na solução homogênea, é preciso multiplicar por x^s, onde s é a multiplicidade da raiz r correspondente à função conflitante. No nosso caso, o lado direito é um polinômio x+1 (grau 1). Um palpite simples seria
y_p^{(0)}(x) = Ax + B.
Mas atenção: a solução homogênea contém constantes ( C_1), ou seja, o termo constante entra em conflito com B. Esse conflito vem da raiz r=0 da equação característica, cuja multiplicidade é 1. Então multiplicamos o palpite por x^1. Portanto o palpite correto é
y_p(x) = x\,(Ax + B) = A x^2 + B x.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_p. Para
y_p(x) = A x^2 + B x,
temos
y_p'(x) = 2A x + B,
y_p''(x) = 2A.
Aqui explico passo a passo: a derivada de x^2 é 2x, por isso A x^2 vira 2A x; a derivada de B x é B; e a segunda derivada de A x^2 é 2A, enquanto a segunda derivada de B x é zero.

Passo 5

Substituímos y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial:
y_p'' + y_p' = 2A + (2A x + B) = 2A x + (2A + B).
Esse resultado deve ser igual ao lado direito x+1. Igualando coeficientes dos termos em x e dos termos constantes (por ser igualdade de polinômios):
  • Coeficiente de x: 2A = 1.
  • Termo constante: 2A + B = 1.
Resolva o sistema:
2A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = \tfrac{1}{2}.
Substituindo em 2A + B = 1,
2\cdot \tfrac{1}{2} + B = 1 \quad\Rightarrow\quad 1 + B = 1 \quad\Rightarrow\quad B = 0.

Passo 6

Com A=\tfrac{1}{2} e B=0, o palpite fica
y_p(x) = \tfrac{1}{2} x^2.
Verificação rápida (fácil de fazer na prova): y_p' = x, y_p''=1, logo y_p''+y_p' = 1 + x = x+1, que coincide com o lado direito. Então está correto.

Resposta

y_p(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}

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