Encontre a solução particular:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar uma solução particular dessa equação. Informações relevantes que temos:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é um polinômio em
de grau : . - Precisamos apenas de uma solução particular
(não é pedido aqui a solução geral).
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: considerar a equação homogênea associada para saber quais funções aparecem na solução homogênea. A homogênea é
Para resolver, usamos a equação característica: suponha
. Substituindo na homogênea dá
Essa é uma equação algébrica em
. Vamos resolver:
Como a equação é linear com raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação didática: a raiz
corresponde a termos constantes na solução homogênea (por isso aparece
), e
gera o termo exponencial
.
Passo 3
Agora vamos escolher a forma do palpite para a solução particular. Método usado: coeficientes indeterminados (muito prático quando o lado direito é polinômio, exponencial, seno/cosseno ou combinação deles).
Regra prática (explicada): se o termo não-homogêneo for um polinômio de grau
, um palpite inicial para
é um polinômio de grau
com coeficientes indeterminados. Porém, se alguma parte desse palpite já aparece na solução homogênea, é preciso multiplicar por
, onde
é a multiplicidade da raiz
correspondente à função conflitante. No nosso caso, o lado direito é um polinômio
(grau
). Um palpite simples seria
Mas atenção: a solução homogênea contém constantes (
), ou seja, o termo constante entra em conflito com
. Esse conflito vem da raiz
da equação característica, cuja multiplicidade é
. Então multiplicamos o palpite por
. Portanto o palpite correto é
Passo 4
Calculemos as derivadas de
. Para
temos
Aqui explico passo a passo: a derivada de
é
, por isso
vira
; a derivada de
é
; e a segunda derivada de
é
, enquanto a segunda derivada de
é zero.
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Esse resultado deve ser igual ao lado direito
. Igualando coeficientes dos termos em
e dos termos constantes (por ser igualdade de polinômios):
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Resolva o sistema:
Substituindo em
,
Passo 6
Com
e
, o palpite fica
Verificação rápida (fácil de fazer na prova):
,
, logo
, que coincide com o lado direito. Então está correto.