Encontre a solução particular:
y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}=x^{2}+x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de coeficientes constantes e pede uma solução particular:
y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}=x^{2}+x.
Informações importantes que temos:
  • É uma equação linear não homogênea de terceira ordem.
  • O termo não homogêneo (lado direito) é o polinômio \,x^{2}+x.
  • A incógnita a encontrar aqui é uma solução particular y_{p}(x) que satisfaça a equação (não precisa incluir a solução geral homogênea).

Passo 2

Vou escolher um método prático e didático: usar o operador diferencial D=\dfrac{d}{dx} para fatorar o lado esquerdo e reduzir a ordem do problema. Escrevendo com operadores:
D^{3}y+3D^{2}y = D^{2}(D+3)y.
Isso significa que, se definirmos u=(D+3)y=y'+3y, a equação torna-se
D^{2}u = x^{2}+x.
A vantagem é transformar a equação de 3ª ordem numa sequência: primeiro resolver D^{2}u = x^{2}+x para obter um u particular e depois resolver a equação de 1ª ordem (D+3)y=u para achar y. Vou seguir esse caminho porque ele evita tentativa direta com polinômios multiplicados por potências de x e é bastante sistemático.

Passo 3

Resolver D^{2}u = x^{2}+x. Isso é simplesmente integrar duas vezes:
Primeira integração:
u'=\int (x^{2}+x)\,dx=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+C_{1}.
Segunda integração:
u=\int u'\,dx=\int\left(\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+C_{1}\right)dx =\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{3}}{6}+C_{1}x+C_{2}.
Aqui C_{1},C_{2} são constantes de integração. Contudo, para obter uma solução particular de y basta escolher um u particular qualquer que satisfaça D^{2}u=x^{2}+x. As parcelas C_{1}x+C_{2} correspondem a soluções do homogeneizado em u (são polinômios de grau ≤1) e, ao serem usadas depois para achar y, gerariam apenas partes que pertencem à solução homogênea de y. Então, para construir uma solução particular simples, podemos escolher
C_{1}=0,\qquad C_{2}=0,
e tomar
u_{p}(x)=\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{3}}{6}.

Passo 4

Agora resolver a primeira ordem linear
y'+3y=u_{p}(x)=\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{3}}{6}.
Explico rapidamente o método usado: para uma equação linear y'+3y=f(x) usa-se o fator integrante \mu(x)=e^{\int 3\,dx}=e^{3x}. Multiplicando por \mu,
\frac{d}{dx}\big(e^{3x}y\big)=e^{3x}f(x).
Logo
y=e^{-3x}\int e^{3x}f(x)\,dx
(uma primitiva qualquer do lado direito dá uma solução particular; constantes da primitiva correspondem à parte homogênea).

Passo 5

Aplicando ao nosso f(x)=u_{p}(x):
y_{p}(x)=e^{-3x}\int e^{3x}\left(\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{3}}{6}\right)dx.
Separando as constantes:
y_{p}(x)=e^{-3x}\left(\frac{1}{12}\int e^{3x}x^{4}\,dx+\frac{1}{6}\int e^{3x}x^{3}\,dx\right).
Agora vou calcular explicitamente as primitivas \int e^{3x}x^{3}\,dx e \int e^{3x}x^{4}\,dx por partes repetidas, mostrando os passos.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int e^{3x}x^{3}\,dx.
Usando integração por partes com u=x^{3}, dv=e^{3x}dx (logo du=3x^{2}dx, v=\dfrac{e^{3x}}{3}):
\int e^{3x}x^{3}\,dx=\frac{e^{3x}x^{3}}{3}-\int \frac{e^{3x}\cdot 3x^{2}}{3}\,dx =\frac{e^{3x}x^{3}}{3}-\int e^{3x}x^{2}\,dx.
Agora calcular \int e^{3x}x^{2}\,dx por partes: u=x^{2}, dv=e^{3x}dx so v=e^{3x}/3, du=2x dx:
\int e^{3x}x^{2}\,dx=\frac{e^{3x}x^{2}}{3}-\int \frac{e^{3x}\cdot 2x}{3}\,dx =\frac{e^{3x}x^{2}}{3}-\frac{2}{3}\int e^{3x}x\,dx.
E \int e^{3x}x\,dx por partes: u=x, dv=e^{3x}dx v=e^{3x}/3, du=dx:
\int e^{3x}x\,dx=\frac{e^{3x}x}{3}-\int \frac{e^{3x}}{3}\,dx =\frac{e^{3x}x}{3}-\frac{e^{3x}}{9}.
Substituindo de volta:
\int e^{3x}x^{2}\,dx =\frac{e^{3x}x^{2}}{3}-\frac{2}{3}\left(\frac{e^{3x}x}{3}-\frac{e^{3x}}{9}\right) =e^{3x}\!\left(\frac{x^{2}}{3}-\frac{2x}{9}+\frac{2}{27}\right).
Então
\int e^{3x}x^{3}\,dx =\frac{e^{3x}x^{3}}{3}-e^{3x}\!\left(\frac{x^{2}}{3}-\frac{2x}{9}+\frac{2}{27}\right) =e^{3x}\!\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{3}+\frac{2x}{9}-\frac{2}{27}\right).
Para ficar com denominadores comuns:
\int e^{3x}x^{3}\,dx =e^{3x}\frac{9x^{3}-9x^{2}+6x-2}{27}.

Passo 7

Calcular \displaystyle \int e^{3x}x^{4}\,dx.
Usando integração por partes: u=x^{4}, dv=e^{3x}dx v=e^{3x}/3, du=4x^{3}dx:
\int e^{3x}x^{4}\,dx=\frac{e^{3x}x^{4}}{3}-\frac{4}{3}\int e^{3x}x^{3}\,dx.
Substituindo a primitiva obtida no passo anterior:
\int e^{3x}x^{4}\,dx =\frac{e^{3x}x^{4}}{3}-\frac{4}{3}\cdot e^{3x}\frac{9x^{3}-9x^{2}+6x-2}{27}.
Colocando em um único fator e^{3x} e denominador comum:
\int e^{3x}x^{4}\,dx =e^{3x}\frac{27x^{4}-36x^{3}+36x^{2}-24x+8}{81}.

Passo 8

Voltar para a integral original
\int e^{3x}\left(\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{3}}{6}\right)dx =\frac{1}{12}\int e^{3x}x^{4}\,dx+\frac{1}{6}\int e^{3x}x^{3}\,dx.
Substituindo os resultados obtidos:
\frac{1}{12}\cdot e^{3x}\frac{27x^{4}-36x^{3}+36x^{2}-24x+8}{81} +\frac{1}{6}\cdot e^{3x}\frac{9x^{3}-9x^{2}+6x-2}{27}.
Fatorando e^{3x} e simplificando as constantes (colocando tudo sobre o denominador 972) obtém-se
\int e^{3x}\left(\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{3}}{6}\right)dx =e^{3x}\frac{27x^{4}+18x^{3}-18x^{2}+12x-4}{972}.
Portanto, lembrando que y_{p}=e^{-3x} vezes essa primitiva:
y_{p}(x)=\frac{27x^{4}+18x^{3}-18x^{2}+12x-4}{972}.
Agora simplifico cada coeficiente (dividindo numerador por 972):
y_{p}(x)=\frac{x^{4}}{36}+\frac{x^{3}}{54}-\frac{x^{2}}{54}+\frac{x}{81}-\frac{1}{243}.

Passo 9

Verificação rápida (importante para a prova): se y_{p} é polinomial de grau 4, então
y_{p}''=12\cdot\frac{1}{36}x^{2}+\text{(termos em }x\text{ e const)} \;\text{ e } \; y_{p}'''= \text{termo linear em }x + \text{const}.
Substituindo em y''' + 3y'' os coeficientes calculados (fácil de checar term a term), encontra-se exatamente x^{2}+x. (Quem quiser conferir rapidamente: com os coeficientes usados a identidade dá y'''+3y''=1\cdot x^{2}+1\cdot x+0.)

Resposta

y_{p}(x)=\frac{x^{4}}{36}+\frac{x^{3}}{54}-\frac{x^{2}}{54}+\frac{x}{81}-\frac{1}{243}.

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