Encontre a solução particular:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de coeficientes constantes e pede uma solução particular:
Informações importantes que temos:
- É uma equação linear não homogênea de terceira ordem.
- O termo não homogêneo (lado direito) é o polinômio
. - A incógnita a encontrar aqui é uma solução particular
que satisfaça a equação (não precisa incluir a solução geral homogênea).
Passo 2
Vou escolher um método prático e didático: usar o operador diferencial
para fatorar o lado esquerdo e reduzir a ordem do problema. Escrevendo com operadores:
Isso significa que, se definirmos
, a equação torna-se
A vantagem é transformar a equação de 3ª ordem numa sequência: primeiro resolver
para obter um
particular e depois resolver a equação de 1ª ordem
para achar
. Vou seguir esse caminho porque ele evita tentativa direta com polinômios multiplicados por potências de
e é bastante sistemático.
Passo 3
Resolver
. Isso é simplesmente integrar duas vezes:
Primeira integração:
Primeira integração:
Segunda integração:
Aqui
são constantes de integração. Contudo, para obter uma solução particular de
basta escolher um
particular qualquer que satisfaça
. As parcelas
correspondem a soluções do homogeneizado em
(são polinômios de grau ≤1) e, ao serem usadas depois para achar
, gerariam apenas partes que pertencem à solução homogênea de
. Então, para construir uma solução particular simples, podemos escolher
e tomar
Passo 4
Agora resolver a primeira ordem linear
Explico rapidamente o método usado: para uma equação linear
usa-se o fator integrante
. Multiplicando por
,
Logo
(uma primitiva qualquer do lado direito dá uma solução particular; constantes da primitiva correspondem à parte homogênea).
Passo 5
Aplicando ao nosso
:
Separando as constantes:
Agora vou calcular explicitamente as primitivas
e
por partes repetidas, mostrando os passos.
Passo 6
Calcular
.
Usando integração por partes com
,
(logo
,
):
Agora calcular
por partes:
,
so
,
:
E
por partes:
,
dá
,
:
Substituindo de volta:
Então
Para ficar com denominadores comuns:
Passo 7
Calcular
.
Usando integração por partes:
,
→
,
:
Substituindo a primitiva obtida no passo anterior:
Colocando em um único fator
e denominador comum:
Passo 8
Voltar para a integral original
Substituindo os resultados obtidos:
Fatorando
e simplificando as constantes (colocando tudo sobre o denominador
) obtém-se
Portanto, lembrando que
vezes essa primitiva:
Agora simplifico cada coeficiente (dividindo numerador por
):
Passo 9
Verificação rápida (importante para a prova): se
é polinomial de grau 4, então
Substituindo em
os coeficientes calculados (fácil de checar term a term), encontra-se exatamente
. (Quem quiser conferir rapidamente: com os coeficientes usados a identidade dá
.)